. Cho tam giác ABC. gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a) Gọi K là điểm sao cho O là trung điểm của AK. Chứng minh rằng ∠ABK = ∠ACK = 90◦ . b) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng AH = 2OM. c) Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng và HG /GO = 2.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.


Gọi hai số cần tìm là a,b
Tổng của hai số là 32 nên a+b=32
Hai số tỉ lệ với 7/2 và 9/2 nên \(\dfrac{a}{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{9}{2}}\)
=>\(\dfrac{a}{3,5}=\dfrac{b}{4,5}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{a}{3,5}=\dfrac{b}{4,5}=\dfrac{a+b}{3,5+4,5}=\dfrac{32}{8}=4\)
=>\(a=4\cdot3,5=14;b=4\cdot4,5=18\)
Vậy: Hai số cần tìm là 14 và 18

a: Xét ΔMAB và ΔMCD có
MA=MC
\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MD
Do đó; ΔMAB=ΔMCD
=>AB=CD
mà AB=AC
nên CD=CA
=>ΔCDA cân tại C
b: Ta có: CD=CA
mà CA=CE
nên CD=CA=CE
=>\(CD=\dfrac{1}{2}AE\)
Xét ΔDAE có
DC là đường trung tuyến
\(DC=\dfrac{1}{2}AE\)
Do đó: ΔDAE vuông tại D

a) Vì : \(\left(2x-y+z\right)^{2024}\ge0,\left|y^2-z\right|\ge0,\left(z-4\right)^{2022}\ge0\forall x,y,z\\ \Rightarrow\left(2x-y+z\right)^{2024}+\left|y^2-z\right|+\left(z-4\right)^{2022}\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi : 2x-y+z=y^2-z=z-4=0
Với z-4=0=>z=4
Lại có : y^2-z=0=>y^2=4=>y=2 hoặc y=-2
+) y=2=>2x-2+4=0=>x=-1
+) y=-2=>2x-(-2)+2=0=>x=-2
Vậy (x;y;z)=(-1;2;4);(-2;-2;4)

a) \(A\left(-1\right)=-1+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^3+...+\left(-1\right)^{99}+\left(-1\right)^{100}\\ =-1+1+\left(-1\right)+...+\left(-1\right)+1\\ =0\)
=> x=-1 là nghiệm đa thức A(x)
b) \(A\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\\ \Rightarrow2.A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{98}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}\\ \Rightarrow2.A\left(\dfrac{1}{2}\right)-A\left(\dfrac{1}{2}\right)=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\\ \Rightarrow A\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2^{100}-1}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow\) vì \(|\)\(x|\) o mà về phải luôn > = 3 về trái cũng phải luôn \(\ge\) 3\(x\ge\) o
\(\Rightarrow\) 2024 \(\times1011x-< =1012x+3\)
\(x=5\)
vậy \(x=\) 5 sẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4:
Vì tam giác ABC cân tại A; AM là đường cao của tam giác ABC
Nên AM là trung trực của BC (trong tam giác cân đường cao cũng là đường trung trực của tam giác)
⇒ GC = GB ⇒ tam giác BCG cân tại G
⇒ GM là phân giác của góc CGB (vì trong tam giác cân đường cao cũng là đường phân giác)
⇒ \(\widehat{CGM}\) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\widehat{BGC}\) = 900 x \(\dfrac{1}{2}\) = 450
Xét tam giác vuông AIG có:
\(\widehat{IAG}\) = 900 - \(\widehat{IGA}\) = 900 - 450 = 450
⇒ \(\widehat{IGA}\) = \(\widehat{IAG}\) = 450
⇒ tam giác AIG vuông cân tại I
⇒ IA = IG
AH // GI ⇒ AH \(\perp\) AI (vì một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại)
\(\widehat{IAH}\) = 900
Xét tứ giác: AHGI có:
\(\widehat{IAH}\) = \(\widehat{AIG}\) = \(\widehat{IGH}\) = 900; IA = IG (cmt)
⇒ AHGI là hình vuông
⇒ AG \(\perp\) HI (tính chất hai đường chéo của hình vuông)
Mặt khác AG \(\perp\) BC (gt)
⇒ HI // BC (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)
Kết Luận: HI // BC (đpcm)

Khi x=-3 thì \(\left(x^{2023}+3x^{2022}+1\right)^{2000}=\left[\left(-3\right)^{2023}+3\cdot\left(-3\right)^{2022}+1\right]^{2000}\)
\(=\left[-3^{2023}+3^{2023}+1\right]^{2000}\)
\(=1^{2000}=1\)

Lời giải:
$\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-a)(b-c)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=2024$
$\Rightarrow \frac{(a-c)-(a-b)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-a)-(b-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(c-b)-(c-a)}{(c-a)(c-b)}=2024$
$\Rightarrow \frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}=2024$
$\Rightarrow \frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}=2024$
$\Rightarrow 2(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})=2024$
$\Rightarrow 2Q=2024$
$\Rightarrow Q=1012$
a:Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
mà O là trung điểm của AK
nên AK là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>\(\widehat{ABK}=90^0\)
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó; ΔACK vuông tại C
=>\(\widehat{ACK}=90^0\)
b: H là trực tâm của ΔABC
=>BH\(\perp\)AC và CH\(\perp\)AB
Ta có: BH\(\perp\)AC
CK\(\perp\)CA
Do đó: BH//CK
ta có: CH\(\perp\)AB
BK\(\perp\)AB
Do đó: CH//BK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>M là trung điểm của HK
Xét ΔAHK có
M,O lần lượt là trung điểm của KH,KA
=>MO là đường trung bình của ΔAHK
=>MO=1/2HA
=>AH=2MO