a) Do B là trung điểm của AM (gt)

⇒ BA = BM

Xét ∆ABC và ∆MBI có:

BA = BM (cmt)

∠ABC = ∠MBI (đối đỉnh)

BC = BI (gt)

⇒ ∆ABC = ∆MBI (c-g-c)

⇒ AC = MI (hai cạnh tương ứng)

Do ∆ABC = ∆MBI (cmt)

⇒ ∠ACB = ∠MIB (hai góc tương ứng)

Mà ∠ACB và ∠MIB là hai góc so le trong

⇒ AC // MI

b) Do D là trung điểm của MI (gt)

⇒ DM = DI

Xét ∆ADI và ∆EDM có:

DI = DM (cmt)

∠ADI = ∠EDM (đối đỉnh)

AD = DE (gt)

⇒ ∆ADI = ∆EDM (c-g-c)

⇒ AI = ME (hai cạnh tương ứng)

Do ∆ADI = ∆EDM (cmt)

⇒ ∠AID = ∠EMD (hai góc tương ứng)

Mà ∠AID và ∠EMD là hai góc so le trong

⇒ AI // ME

c) Đề sai, em xem lại đề nhé

Bạn xem lại đề. Đề sai.

a) Sửa đề: Chứng minh ∆ABE = ∆DBE

Xét hai tam giác vuông: ∆ABE và ∆DBE có:

BE là cạnh chung

BA = BD (gt)

⇒ ∆ABE = ∆DBE (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do ∆ABE = ∆DBE (cmt)

⇒ AE = DE (hai cạnh tương ứng)

∆CDE vuông tại D

EC là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất

⇒ DE < EC

Mà AE = DE (cmt)

⇒ AE < EC

c) Gọi G là giao điểm của AD và BE

Do ∆ABE = ∆DBE (cmt)

⇒ ∠ABE = ∠DBE (hai góc tương ứng)

⇒ ∠ABG = ∠DBG

Xét ∆ABG và ∆DBG có:

BA = BD (gt)

∠ABG = ∠DBG (cmt)

BG là cạnh chung

⇒ ∆ABG = ∆DBG (c-g-c)

⇒ ∠AGB = ∠DGB (hai góc tương ứng)

Mà ∠AGB + ∠DGB = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AGB = ∠DGB = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ BG ⊥ AD (1)

Do ∆ABG = ∆DBG (cmt)

⇒ AG = DG (hai cạnh tương ứng)

⇒ G là trung điểm của AD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BG là đường trung trực của AD

⇒ BE là đường trung trực của AD

d) Xét hai tam giác vuông: ∆EDC và ∆EAF có:

DE = AE (cmt)

∠DEC = ∠AEF (đối đỉnh)

⇒ ∆EDC = ∆EAF (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ EC = EF (hai cạnh tương ứng)

∆EFC có:

EC = EF (cmt)

⇒ ∆EFC cân tại E

Lời giải:

** Sửa lại đề:
$S=1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+2019.2^{2018}$

$2S=1.2^1+2.2^2+3.2^3+...+2018.2^{2018}+2019.2^{2019}$

$\Rightarrow 2S-S=2019.2^{2019}-(2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2018})$

$\Rightarrow S=2019.2^{2019}-(2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2018})$

Xét:

$M=2^0+2^1+2^2+..+2^{2018}$

$2M=2^1+2^2+2^3+...+2^{2019}$

$\Rightarrow 2M-M=2^{2019}-2^0$

$\Rightarrow M=2^{2019}-1$
$S=2019.2^{2019}-M = 2019.2^{2019}-(2^{2019}-1)=2018.2^{2019}+1$

Xét hiệu:

$S-(2019.2^{2018}+2019)=2018.2^{2019}+1-2019.2^{2018}-2019$

$=2^{2018}(2018.2-2019)+1-2019$

$=2^{2018}.2017-2018>0$

$\Rightarrow S> 2019.2^{2018}+2019$

Lời giải:
a. 

Đặt $\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=k\Rightarrow a=5k, b=4k$

Khi đó:
$a^2-b^2=1$

$\Rightarrow (5k)^2-(4k)^2=1$

$\Rightarrow 9k^2=1\Rightarrow k^2=\frac{1}{9}\Rightarrow k=\frac{1}{3}$ hoặc $k=\frac{-1}{3}$
Nếu $k=\frac{1}{3}$ thì:

$a=5k=\frac{5}{3}; b=4k=\frac{4}{3}$

Nếu $k=\frac{-1}{3}$ thì:

$a=5k=\frac{-5}{3}; b=4k=\frac{-4}{3}$

b.

Đặt $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$

$\Rightarrow a=2k; b=3k; c=4k$

Khi đó:

$a^2-b^2+2c^2=108$

$\Rightarrow (2k)^2-(3k)^2+2(4k)^2=108$

$\Rightarrow 27k^2=108$

$\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=\pm 2$

Nếu $k=2$ thì:

$a=2k=4; b=3k=6; c=4k=8$

Nếu $k=-2$ thì:

$a=2k=-4; b=3k=-6; c=4k=-8$

 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại M.

 Khi đó \(\widehat{DCA}=\widehat{DBM}\) (2 góc so le trong)

 Xét 2 tam giác DAC và DMB, ta có:

\(\widehat{DCA}=\widehat{DBM}\left(cmt\right);\) \(DC=DB\) (do AD là trung tuyến của tam giác ABC) và \(\widehat{ADC}=\widehat{BDM}\) (2 góc đối đỉnh)

 Do đó \(\Delta DAC=\Delta DMB\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow MB=AC\) và \(DA=DM\Rightarrow\) D là trung điểm AM \(\Rightarrow DM=2DA\)

 Trong tam giác ABM, ta có \(AM< AB+BM\)

 Lại có \(DM=2DA;MB=AC\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow2AD< AB+AC\)

\(\Rightarrow AD< \dfrac{AB+AC}{2}\)

\(\Rightarrow AD< \dfrac{AB}{2}+\dfrac{AC}{2}\)

\(\Rightarrow AD< BF+CE\)  (1)

 Trong tam giác GBF, có \(BF< GB+GF\), trong tam giác GCE có \(CE< GC+GE\)

 Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên, thu được \(BF+CE< GF+GB+GE+GC\)

 hay \(BF+CE< \left(GB+GE\right)+\left(GC+GF\right)\)

 hay \(BF+CE< BE+CF\) (2)

 Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AD< BE+CF\)

 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \(BE< AD+CF\) và \(CF< AD+BE\). Do đó AD, BE, CF là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác (đpcm)

Gọi số sách sau khi chuyển của 3 tủ lần lượt là \(x,y,z\)  \(\left(x,y,z\inℕ^∗\right)\) \(\left(x,y,z< 2250\right)\)

Ta có: \(\dfrac{x}{16}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{14}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{16}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{14}=\dfrac{x+y+z}{16+15+14}=\dfrac{2250}{45}=50\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{16}=50\\\dfrac{y}{15}=50\\\dfrac{z}{14}=50\\\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=16.50=800\\y=15.50=750\\z=14.50=700\\\end{matrix}\right.\left(tmdk\right)\)

​​Do đó số sách sau khi chuyển của tủ 1 là 800, tủ 2 là 750 và tủ 3 là 700 cuốn
Vậy trước khi chuyển 100 cuốn từ tủ 1 sang tủ 3 thì
+) Tủ 1 có: 800 + 100 = 900 cuốn
+) Tủ 2 có: 750 cuốn
+) Tủ 3 có: 700 – 100 = 600 cuốn

\(a\)) Xét tứ giác \(ABPC\) có
\(AK=KP\left(gt\right)\)
\(BK=KC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(ABPC\) là hình bình hành
\(\Rightarrow AC=BP\) và \(AC//BP\).

Còn b) ,c) thì sao ạ

\(\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{z-5}{6}\)

\(=\dfrac{3x+3}{6}=\dfrac{4y+12}{16}+\dfrac{5z-25}{30}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{z-5}{6}=\dfrac{3x+3}{6}=\dfrac{4y+12}{16}+\dfrac{5z-25}{30}=\dfrac{5x-25-3x-3-4y-12}{30-16-6}=\dfrac{50-40}{8}=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow x+1=2,5\)

\(\Rightarrow x=1,5.\)

\(\Rightarrow\dfrac{y+3}{4}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow y+3=5\)

\(\Rightarrow y=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{z-5}{6}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow z-5=7,5\)

\(\Rightarrow z=12,5.\)

Vậy các số \(\left(x;y;z\right)\) cần tìm lần lượt là \(\left(1,5;2;12,5\right)\)