Đkxđ : \(x\ne4\); \(x\ge0\)

a.\(A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{5}{x+\sqrt{x}-6}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{5}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-4-5-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^2+3\sqrt{x}-4\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-4\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

b. Ta có : \(A=\) \(\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow A\left(\sqrt{x}-2\right)=\sqrt{x}-4\)

\(\Leftrightarrow A\sqrt{x}-2A=\sqrt{x}-4\)

\(\Leftrightarrow A\sqrt{x}-\sqrt{x}=2A-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(A-1\right)=2\left(A-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{2\left(A-2\right)}{A-1}\)

\(\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{2\left(A-2\right)}{A-1}\right)^2\)

Vậy .....

Chúc bạn học tốt ạ !

: ĐKXĐ : $x\ge 0$ và $x\ne 4$

Câu a : $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-5-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$=\frac{x-4-5-\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$=\frac{x-\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

Câu c :

$A<1$ $\iff \frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}<1$

$\iff \left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)<\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)$

$\iff x-\sqrt{x}-6<x+\sqrt{x}-6$

$\iff -2\sqrt{x}<0$ ( Luôn đúng với mọi x khi $\{\begin{array}{c}x>0\\ x\ne 4\end{array}$)

Vậy các giá của x để A < 1 là $\{\begin{array}{c}x>0\\ x\ne 4\end{array}$

Vì \(ab>0\) nên a và b cùng dấu và khác 0.

Ta có: \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}>0\)

vì a>b nên a - b >0, ab > 0.

Do đó: \(\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{a}\) đpcm

You can learn the difficult concept to understand from Solvemate. This is a education service for using technology to adapt in order to create mathematical problems based on the learning needs of students.
Math mate in your pocket. https://intro.solve-mate.com/

\(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3-5}\)

\(=\dfrac{-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3-5}=-\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}\)

A B C H M D T Q

a/

Xét tg ABC có

\(AB^2=BH.BC\) (trong tg vuông bình phương cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6cm\)

\(\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

b/ Ta có

MB=MC (gt); MA=MD (gt) =>ABDC là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> AB=CD (cạnh đối hbh) mà \(AB^2=BH.BC\) (cmt)

\(\Rightarrow CD^2=BH.BC\)

c/ Ta có

ABDC là hình bình hành (cmt)

\(A=90^o\) (gt)

=> ABDC là hình chữ nhật \(\Rightarrow BD\perp CQ\) (1)

\(AH\perp BC\) (gt) \(\Rightarrow QH\perp BC\) (2)

Từ (1) và (2) => T là trực tâm của tg BCQ

Đặt \(a^2=p\left(p\ge0\right)\), khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương \(p^3+1\ge p\left(p+1\right)\) \(\Leftrightarrow p^3+1-\left(p+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow p\left(p+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(p\ge0\))

Như vậy ta có đpcm.

Mình sửa lại chút nhé

\(p^3+1-p\left(p+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\ge0\) (luôn đúng)

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 16$

a. Khi $x=36$ thì:

\(A=\frac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\frac{6+4}{6+2}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\)

b. 

\(B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+4(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

c. 

\(B(1-A)=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}(1-\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2})=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{-2}{x-16}\)

Để $B(1-A)$ nguyên thì $x-16$ là ước của $-2$

$\Rightarrow x-16\in\left\{\pm 1; \pm 2\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{17; 15; 14; 18\right\}$ (đều thỏa mãn ĐKXĐ)

a. Thay x = 36 vào A ta được:

\(A=\dfrac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\dfrac{6+4}{6+2}=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}\)

b. Rút gọn B

\(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\dfrac{4}{\sqrt{x}-4}\right)\div\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\dfrac{x+16}{x-16}\times\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

c. Ta có: 

\(B\left(1-A\right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\left(1-\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-16}\times\dfrac{\sqrt{x}+2-\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{-2}{x-16}\)

Để biểu thức B(1-A) nguyên thì \(\dfrac{-2}{x-16}\) nguyên.

Khi đó x - 16 là ước của -2 và x khác 16

Ta có:

x - 16 = 1 => x = 17

x - 16 = -1 => x = 15

x - 16 = 2 => x = 18

x - 16 = -2 => x = 14

Vậy có 4 giá trị x thõa mãn bài toán là : 14;15;17;18

vì x , y > 0 ta có 

(\(\sqrt{x}\) - \(\sqrt{y}\))² ≥ 0 ( ∀ x,y  >0

⇔ x  -2\(\sqrt{xy}\)  + y  ≥ 0 ( ∀ x,y >0)

⇔ x + y ≥ 2\(\sqrt{xy}\) (đpcm)