@hieu nguyen Em có nhân chéo hai vế và khai triển ra nhưng cũng không ra cái gì ạ. 

/nfvg6yguntbygynugytf6ht

\(\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge\frac{12}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2ab}\ge12+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\ge12+2=14\)(đpcm)

Vậy..

Có lẽ đề là n nguyên dương:v

Với \(n=1\) thì \(\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2\cdot1}=1>\frac{1}{2}\)

Giả sử bài toán đúng với \(n=k\) khi đó:\(A_k=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+....+\frac{1}{2k}\)

Ta cần chứng minh bài toán đúng với \(n=k+1\) thật vậy:
\(A_{k+1}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+....+\frac{1}{2k+2}\)

\(A_{k+1}=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+.....+\frac{1}{2k}\right)+\left(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(A_{k+1}=A_k+\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)>\frac{1}{2}\) vì \(A_k>\frac{1}{2};\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}>0\) với mọi k nguyên dương.

Vậy bài toán được chứng minh. 

ĐKXĐ : \(x\ge0;y\ge1\)

\(x+y+12=4\sqrt{x}+6\sqrt{y-1}\)

\(\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4+y-1-6\sqrt{y-1}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-2=0\\\sqrt{y-1}-3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=10\end{cases}}}\)

n là tham số hay sao ah? 

Anh quên mất  \(n\ge0\)

\(\sqrt{16-6\sqrt{7}}-\sqrt{32+10\sqrt{7}}.\)

\(=\sqrt{9-6\sqrt{7}+7}-\sqrt{25+10\sqrt{7}+7}\)

\(=\sqrt{3^2-2.3.\sqrt{7}+\sqrt{7}^2}-\sqrt{5^2+2.5.\sqrt{7}+\sqrt{7^2}}\)

\(\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}-\sqrt{\left(5+\sqrt{7}\right)^2}\)

\(=3-\sqrt{7}-5-\sqrt{7}=-2-2\sqrt{7}\)

\(\sqrt{17-4}.\sqrt{9+4\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{13}.\sqrt{5+4\sqrt{5}+4}\)

\(=\sqrt{13}\left(\sqrt{5}+2\right)\)

\(=\sqrt{65}+2\sqrt{13}\)

Ta có \(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

TT
=> \(VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng cosi \(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Tương tự với các phân thức còn lại 

=> \(VT+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

=> \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm: \(LHS=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=RHS\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)