TH1: n = 3k , k là số tự nhiên.

Có: \(A=a^{6k}+a^{3k}+1=\left(a^{6k}-1\right)+\left(a^{3k}-1\right)+3\)

\(=\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+1\right)+\left(a^{3k}-1\right)+3=\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+2\right)+3\)

lại có:  \(a^{3k}-1=\left(a^3\right)^k-1⋮a^3-1\) và \(a^3-1⋮a^2+a+1\)

=> \(a^{3k}-1⋮a^2+a+1\)

=> \(\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+2\right)⋮a^2+a+1\)

 => \(A:a^2+a+1\) dư 3, với mọi a khác -2; -1; 0; 1.

TH2: n = 3k + 1, k là số tự nhiên.

Có: \(A=a^{6k+2}+a^{3k+1}+1=a^2\left(a^{6k}-1\right)+a\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\)

\(=a^2\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+1\right)+a\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\)

\(=\left(a^{3k}-1\right)\left[a^2\left(a^{3k}+1\right)+a\right]+\left(a^2+a+1\right)⋮a^2+a+1\)

Vì \(a^{3k}-1⋮a^2+a+1;a^2+a+1⋮a^2+a+1\)

=> \(A⋮a^2+a+1\)

hay \(A:a^2+a+1\) dư 0

TH3: n = 3k +2, k là số tự nhiên

Có: \(A=a^{6k+4}+a^{3k+2}+1=a^4\left(a^{6k}-1\right)+a^2\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^4+a^2+1\right)\)

\(=a^4\left(a^{3k}+1\right)\left(a^{3k}-1\right)+a^2\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^4+2a^2+1\right)-a^2\)

\(=\left(a^{3k}-1\right)\left[a^4\left(a^{3k}+1\right)+a^2\right]+\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮a^2+a+1\)

=> \(A:a^2+a+1\) dư 0.

Kêt luận:  Với n là số tự nhiên  chia hết cho 3, a là số nguyên khác -2; -1 ; 0; 1  thì A chia cho a^2 +a +1 dư 3

                      n là số tự nhiên không chia hết cho 3, a là số nguyên bất kì thì A chia cho a^2 +a +a dư 0.

.

.

2x mũ mấy z bn

Đặt \(x+1=t\Rightarrow x=t-1\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=2\left(t-1\right)^2-1=2t^2-4t+1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x^2-4x+1\)

Điều đó là đương nhiên cần gì phải c/m?

Đây là dạng y=ax+b với

a=m²-3m+5 và b=m-1

Áp dụng bổ đề \(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\)

Ta có \(A=\left|x-\sqrt{2}\right|+\left|y-1\right|\ge\left|x\right|+\left|y\right|-\left(\left|\sqrt{2}\right|+1\right)\)

\(\Rightarrow A\ge5-\sqrt{2}-1=4-\sqrt{2}\)

Mình mới biết làm Min thôi , thông cảm :>>

A = x+√2−xx+2−x

B=  2 - √x2−xx2−x

C= 1+√6x−x2−71+6x−x2−7

1.(A−x)2=2−x=>A2−2Ax+x2=2−x=>x2+x(1−2A)+A2−2=0(A−x)2=2−x=>A2−2Ax+x2=2−x=>x2+x(1−2A)+A2−2=0

Δ=9−4A≥0=>A≤94

\(A=x+ \sqrt{2}-x\)

\(B=2- \sqrt{x^2}-x\)

\(C=1+ \sqrt{6x}-x^2-7\)

30 A C B D F E F' E'

Từ D Hạ đường cao DF' , DE' lần lượt lên AB; AC

=> Có: \(DE'\le DE;DF'\le DF\) với mọi vị trí D, E, F

=> \(S_{DEF}\le S_{DE'F'}\)

"=" xảy ra <=> E trùng E'; F trùng F'

AE'F'D là hình chữ nhật ( tự chứng minh )

Đặt: AF' = x; AE'=y

Có: \(AB=a;BC=2a=2.AB\)=> \(\Delta\)ABC vuông tại A có: \(\widehat{ACB}=30^o\)=> \(AC=a\sqrt{3}\)

=> \(BF'=a-x\); \(CE'=a\sqrt{3}-y\)

Dễ thấy:  \(\Delta BF'D\approx\Delta DE'C\approx\Delta BAC\)

=> \(BD=2.\left(a-x\right)\); \(DC=\frac{\left(a\sqrt{3}-y\right)}{\sqrt{3}}.2\)

mà BD +DC =BC =2a

=> \(2\left(a-x\right)+\left(a-\frac{y}{\sqrt{3}}\right).2=2a\)

=> \(x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\)

Có diện tích DEF nhỏ nhất <=> D'E'F' nhỏ nhất <=> E'F' nhỏ nhất

=> \(E'F'^2=x^2+y^2=\frac{3}{4}\left(1^2+\frac{1}{3}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{3}{4}\left(x+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{3}{4}.a^2=\frac{3}{4}a^2\)

=> \(E'F'\ge\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\sqrt{3}\\x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}a\\y=\frac{\sqrt{3}}{4}a\end{cases}}\)

=> Vậy vị trí : E cách A khoảng \(\frac{\sqrt{3}}{4}a\); F cách A khoảng \(\frac{3}{4}a\); D cách B khoảng \(2\left(a-\frac{3}{4}a\right)=\frac{a}{2}\)

=> \(S_{\Delta DEF}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{1}{2}AE.AF=\frac{1}{2}x.y=\frac{1}{2}.\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2\)

kết bạn