\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{a+c}\)

\(\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+c}\ge4\left(\dfrac{4}{a+b+a+c}\right)=\dfrac{16}{2a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{16}{2a+b+c}\)

Tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{16}{a+2b+c}\) ; \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{16}{a+b+2c}\)

Cộng vế:

\(4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{16}{2a+b+c}+\dfrac{16}{a+2b+c}+\dfrac{16}{a+b+2c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có:

\(VP=\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{2b+a+c}+\dfrac{4}{2c+a+b}\)

\(\le\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(=\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{b+c}\right)+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{c+a}\right)+\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{a+b}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)+\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{4c}+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\)

\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(=VT\)

 Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

 Chú ý: Trong bài ta đã sử dụng bất đẳng thức \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với \(x,y>0\) hai lần

Ta có \(VT=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{4b}\)

\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{b}\)

\(=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{b}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2}{a+b}\) (áp dụng BĐT \(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\))

\(=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{1}\) (vì \(a+b=1\))

\(=\dfrac{9}{4}\)

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2b}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a,b\right)=\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{4b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{b}\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2}{a+b}=\dfrac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)

Gọi a (học sinh), b (học sinh), c (học sinh), d (học sinh) lần lượt là số học sinh của khối 6, khối 7, khối 8, khối 9 (a, b, c, d ∈ ℕ*)

Do số học sinh của khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với 9, 8, 7, 6 nên:

a/9 = b/8 = c/7 = d/6

Do khối 6 hơn khối 9 là 30 em nên:

a - d = 30

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a/9 = b/8 = c/7 = d/6 = (a - d)/(9 - 6) = 30/3 = 10

a/9 = 10 ⇒ a = 10.9 = 90

b/8 = 10 ⇒ b = 10.8 = 80

c/7 = 10 ⇒ c = 10.7 = 70

d/6 = 10 ⇒ d = 10.6 = 60

Vậy số học sinh của khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là: 90 học sinh, 80 học sinh, 70 học sinh, 60 học sinh

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{4}\) hay \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\) em?

a) Ta có tam giác MNP vuông tại M, với MN = 6 cm, MD = 3 cm, ME = 8 cm. Ta cần so sánh độ dài PD và PE.

Vì tam giác MNP vuông tại M, ta có hai tam giác vuông nhỏ MDP và MEP.

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:

- Trong tam giác MDP: MP² = MD² + DP²

=> MP = √(MD² + DP²) = √(3² + DP²) = √(9 + DP²)

- Trong tam giác MEP: MP² = ME² + EP²

=> MP = √(ME² + EP²) = √(8² + EP²) = √(64 + EP²)

Vì MP là đoạn thẳng cố định, nên ta có: √(9 + DP²) = √(64 + EP²)

=> 9 + DP² = 64 + EP²

=> DP² - EP² = 55

=> DP² > EP²

=> DP > EP

Vậy ta kết luận rằng độ dài của đoạn thẳng PD lớn hơn độ dài của đoạn thẳng PE.

b) Để sắp xếp các đoạn thẳng PD, PE, PN theo thứ tự có độ dài tăng dần, ta cần tính độ dài của đoạn thẳng PN.

Trong tam giác vuông MNP, ta áp dụng định lý Pythagoras:

PN² = MN² + MP²

=> PN = √(MN² + MP²) = √(6² + MP²) = √(36 + MP²)

Với MP = √(9 + DP²), ta có: PN = √(36 + 9 + DP²) = √(45 + DP²)

Để sắp xếp các đoạn thẳng theo thứ tự tăng dần, ta cần so sánh độ dài của chúng. Ta đã biết rằng DP > EP, nên để sắp xếp tăng dần, ta có: PE < PN < PD.

Vậy thứ tự các đoạn thẳng là: PE < PN < PD.

Lời giải:

Xét tam giác $BAM$ và $CDM$ có:

$BM=CM$

$AM=DM$

$\widehat{BMA}=\widehat{CMD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \triangle BAM=\triangle CDM$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB=CD$ và $\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $AB\parallel CD$

$AB\perp AC$ nên $CD\perp AC\Rightarrow \widehat{DCA}=90^0$

Xét tam giác $BAC$ và $DCA$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^0$

$BA=CD$ (cmt)

$AC$ chung

$\Rightarrow \triangle BAC=\triangle DCA$ (c.g.c)

$\Rightarrow BC=DA$

$\Rightarrow BC:2=DA:2\Rightarrow BM=AM$

$\Rightarrow MBA$ cân tại $M\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{MAB}$ 

Hay $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}$

Hình vẽ: