Gọi \(A=1+2+2^2+2^3...+2^{50}\)

\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{51}\)

\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{51}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{50}\right)\)

\(A=2^{51}-1< 2^{51}\)

Đặt \(A=1+2+2^2+..................+2^{50}\)

\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+..............+2^{51}\)

\(\Rightarrow2A-A=\left(2+2^2+2^3+...........+2^{51}\right)-\left(1+2+2^2+...........+2^{50}\right)\)

\(A=2^{51}-1< 2^{51}\)

Vậy \(A< 2^{51}\)

Chúc bạn học tốt

Giả sử

\(n^2+n=2021\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right).n=2021\)

Mà 2021 gồm 2 số 1 số tự nhiên 1 số thập phân 

=>Không có số n nào thỏa mãn

Chúc bạn học tốt

\(A=\frac{2n+7}{5n+2}\)

Đặt  \(d=\left(2n+7,5n+2\right)\)

\(\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(2n+7\right)⋮d\\2\left(5n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}5\left(2n+7\right)-2\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow31⋮d}\)

suy ra \(d=31\)hoặc \(d=1\).

Với \(d=31\): \(2n+7⋮31\Rightarrow n=\frac{31k-7}{2}\)

Vậy để \(A=\frac{2n+7}{5n+2}\)là phân số tối giản thì \(n\ne\frac{31k-7}{2}\)với \(k\inℕ\).

\(B=\frac{8n+193}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

Để \(B\)tối giản thì \(\frac{187}{4n+3}\)tối giản. Ta cần tìm \(n\)để \(\left(187,4n+3\right)=1\).

Có \(187=11.17\)nên \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮̸11\\4n+3⋮̸17\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4n+3\ne11k\\4n+3\ne17t\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n\ne\frac{11k-3}{4}\\n\ne\frac{17t-3}{4}\end{cases}}}}\)(với \(k,t\inℕ\))