\(x-\sqrt{x+1}-1=0\\ =>\sqrt{x+1}=x-1\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}x+1=\left(x-1\right)^2\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}x+1=x^2-2x+1\\x\ge1\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x=0\\x\ge1\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-3\right)=0\\x\ge1\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\\x\ge1\end{matrix}\right.< =>x=3\)

Vậy \(S=\left\{3\right\}\)

c) ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x+3\ge0\\9x^2-x-4\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có \(2\sqrt{x+3}=9x^2-x-4\)

<=> \(9x^2-\left(x+2\sqrt{x+3}+4\right)=0\)

<=> \(9x^2-\left(\sqrt{x+3}+1\right)^2=0\)

<=> \(\left(3x-\sqrt{x+3}-1\right).\left(3x+\sqrt{x+3}+1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}3x-1=\sqrt{x+3}\left(1\right)\\3x+1=-\sqrt{x+3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (2) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+1\right)^2=x+3\\3x+1\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2+5x-2=0\\x\le-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-5\pm97}{18}\\x\le-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-5-\sqrt{97}}{18}\)(tm ĐKXĐ)

Giải (1) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x-1\right)^2=x+3\\3x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x^2-7x-2=0\\x\ge\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{2}{9}\end{matrix}\right.\\x\ge\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (tm ĐKXĐ) 

Vậy tập nghiệm phương trình : S = \(\left\{1;\dfrac{-5-\sqrt{97}}{18}\right\}\)

Trước tiên ta cần chứng minh định lý sin trong tam giác:

Cho tam giác ABC, \(BC=a,AC=b,AB=c\). Khi đó \(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\) với R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh:

Kẻ đường kính AD của (O), dễ thấy tam giác ABD vuông tại B \(\Rightarrow sinD=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{c}{2R}\). Lại có \(\widehat{D}=\widehat{C}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) \(\Rightarrow sinC=\dfrac{c}{2R}\Rightarrow\dfrac{c}{sinC}=2R\)

Tương tự, ta thu được đpcm

Trở lại bài toán chính, áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được \(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{BC}{sinA}\) \(\Rightarrow AB=\dfrac{BCsinC}{sinA}\) \(=\dfrac{15.sin30}{sin40}\)\(\approx11,67\left(cm\right)\)

Vậy \(AB\approx11,67cm\)