Đặt \(A=1-x+x^2-x^3+...-x^{1999}+x^{2000}\)

\(B=1+x+x^2+x^3+...+x^{1999}+x^{2000}\)

Ta có : \(\left(x^2-1\right).P\left(x\right)=\left(x+1\right)A\left(x-1\right)B\)

\(=\left(x^{2001}+1\right)\left(x^{2001}-1\right)\)

\(=\left(x^{2001}\right)^2-1=\left(x^2\right)^{2001}-1^{2001}\)

\(=\left(x^2-1\right)\left(x^{4000}+x^{3998}+x^{3996}+...+x^2+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=x^{4000}+x^{3998}+...+x^2+1\)

Theo đề bài ta có : \(P\left(x\right)=a_o+a_1x+...+a_{4000}x^{4000}\)

Do đó : hệ số chẵn sẽ = 1, hệ số lẻ = 0

\(\Rightarrow a_{2001}=0\)

Chúc bạn học tốt !!

ĐKXĐ : \(x\ne-1;x\ne3\)

M = \(\frac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)\(=\frac{2x}{x^2-3x+x-3}\)\(=\frac{2x}{x^2-2x-3}\)

\(=\frac{2x}{2x\left(\frac{x}{2}-1-\frac{3}{2x}\right)}\)\(=\frac{1}{\frac{x}{2}-1-\frac{3}{2x}}\)\(=\frac{1}{\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)-1}\)

Vì M nguyên => \(1⋮\) \(\left[\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)-1\right]\)

=> \(\left[\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)-1\right]\)\(\in\text{Ư}_{\left(1\right)}=\left\{\pm1\right\}\)

TH1 : \(\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)-1=1\)

\(\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)=2\)

\(x-\frac{3}{x}=4\)

\(\frac{x^2-3}{x}=4\)

\(x^2-3=4x\)

\(x^2-3-4x=0\)

\(\left(x^2-4x+4\right)-7=0\)

\(\left(x-2\right)^2=7\)

\(x-2=\sqrt{7}\Rightarrow x=\sqrt{7}+2\)( TM )

TH2 : \(\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)-1=-1\)

\(\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{x}\right)=0\)

\(x-\frac{3}{x}=0\)

\(x=\frac{3}{x}\)\(\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\sqrt{3}\)( TM )

Vậy giá trị của x là ... thì M nguyên.

mình đăng chs thôi . CHứ mình làm đc r . Cảm ơn cậu nhiều nha ^^ 

Ta đặt \(x^2+x=a\)

 Khi đó pt trở thành :

\(a^2+4a=12\)

\(\Leftrightarrow a^2+4a-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=-6\end{cases}}\)

Với \(a=2\Leftrightarrow x^2+x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Với \(a=-6\Leftrightarrow x^2+x=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{23}{4}\) ( vô lí )

Vậy pt đã cho có tập nghiêm \(S=\left\{1,-2\right\}\)

Ta có: \(\Delta=4^2+4.12=64,\sqrt{\Delta}=8\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x=\frac{-4+8}{2}=2\\x^2+x=\frac{-4-8}{2}=-6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x-2=0\\x^2+x+6=0\end{cases}}\)

+) \(x^2+x-2=0\)

Ta có: \(\Delta=1^2+4.2=9,\sqrt{\Delta}=3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+3}{2}=1\\x=\frac{-1-3}{2}=-2\end{cases}}\)

+) \(x^2+x+6=0\)

Ta có: \(\Delta=1^2-4.6=-25< 0\)

Vậy pt có 2 nghiệm\(\left\{1;-2\right\}\)

Ta có : \(D=4x^4+y^4\)

\(=\left(4x^4+4x^2y^2+y^4\right)-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(2x^2+y^2\right)-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(2x^2+y^2+2xy\right)\left(2x^2+y^2-2xy\right)\)

Do x,y nguyên dương nên \(2x^2+y^2+2xy>1\)

Do đó để D là số nguyên tố \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2+y^2+2xy=1\\2x^2+y^2-2xy=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

Thử lại ta có \(D=1\) không là số nguyên tố

Do đó, không có cặp số nguyên dương x.y thỏa mãn đề.

a) 3-4x = 4.(x-3) hoặc 3-4x = -4.(x-3)

3-4x=4x-12 hoặc 3-4x = -4x +12

8x=15 hoặc -4x+4x=12-3

x=15/8

b) x^2+x+1=4x-1 hoặc  x^2+x+1= -(4x-1)

x^2-3x+2=0 hoặc x^2+5x=0

TH1: x^2-3x+2=0 

x^2-x-2x+2=0

(x^2-x)-(2x-2)=0

x(x-1)-2(x-1)=0

(x-1).(x-2)=0

x=1 hoặc x=2

TH2: x^2+5x=0

x.(x+5)=0

x=0 hoặc x=-5

Các bạn tự đáp số nhé

Ta có : \(n^3+2018n=n\left(n^2-1+2019\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+2019n⋮3\forall n\inℤ\) (*)

Lại có : \(2020\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2020^{2019}\equiv1\left(mod3\right)\)

Và : \(4\equiv1\left(mod3\right)\)

Do đó : \(2020^{2019}+4\equiv2\left(mod3\right)\)

hay \(2020^{2019}+4⋮̸3\) . Điều này mâu thuẫn với (*)

Do đó, không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề.