G/s: Tam giác đều ABC có cạnh bằng a

Đặt AM=x, AN =y, x, y dương và bé hơn a

=> MB=a-x, NC=a-y

Theo bài ra ta có:

\(\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{x}{a-x}-\frac{y}{a-y}=-1\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a-x}+1-\frac{a}{a-y}=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a-x}+\frac{a}{a-y}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a-x+a-y}=\frac{4}{2a-\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2a}{3}\)

Diện tích tam giác AMN:

\(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy\le\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{\sqrt{3}}{16}\frac{4a^2}{9}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{a}{3}\)

Vậy AM=1/3AB, AN=1/3AC thì diện tích tam giác AMN lớn nhất bằng \(\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)

Ta có: 

\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AH}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AH^2}+\frac{2}{AB.AC}+\frac{2}{AC.AH}+\frac{2}{AB.AH}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{AH^2}+\frac{2}{AH.BC}+\frac{2}{AC.AH}+\frac{2}{AB.AH}=1\)(Do \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\\AB.AC=AH.BC\end{cases}}\)(Hệ thức lượng)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{AH}\left(\frac{1}{AH}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{AH}\left(1+\frac{1}{BC}\right)=1\)(Do \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AH}=1\))

\(\Leftrightarrow\frac{BC+1}{BC}=\frac{AH}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(BC+1\right)=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow4BC+4=2AB.AC\)(Do AH.BC = AB.AC)

Kết hợp với Py-ta-go trong tam giác vuông ABC: \(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow BC^2+4BC+4=AB^2+2AB.AC+AC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(BC+2\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\)

\(\Leftrightarrow AB+AC=BC+2\)(Do \(\hept{\begin{cases}BC+2>0\\AB+AC>0\end{cases}}\))

Mà 3 cạnh AB,AC,BC là 3 cạnh nguyên lớn hơn 0

=> Chỉ có 2 cặp (AB,AC,BC) thỏa mãn: \(\left(3,4,5\right),\left(4,3,5\right)\)

lớp 7 lạc trôi kaka

lớp mấy 8 hay 7

\(a,\sqrt{x^2-8x+18}=\sqrt{x^2-8x+16+2}\)

\(=\sqrt{\left(x-4\right)^2+2}\)

Vì \(\left(x-4\right)^2+2>0\)với \(\forall x\)

\(\Rightarrow\)Biểu thức luôn được xác định với mọi x 

\(b,\sqrt{\frac{3x+4}{x-2}}\)

\(btxđ\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2\ne0\\\frac{3x+4}{x-2}\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne2\\\frac{3x+4}{x-2}\ge0\end{cases}}}\)

\(\frac{3x+4}{x-2}\ge0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3x+4\ge0;x-2\ge0\\3x+4< 0;x-2< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge-\frac{4}{3};x\ge2\\x< -\frac{4}{3};x< 2\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x< -\frac{4}{3}\end{cases}}}\)

Mà \(x\ne2\)\(\Rightarrow x>2\)hoặc \(x< -\frac{4}{3}\)

a,\(\sqrt{x^2-8x+18=\sqrt{x^2}-8x+16+2.}\)

\(=\sqrt{\left(x-4\right)^2+2}\)

Vì \(\left(x-4\right)^2+2>0\)với\(\forall x\)

\(\Rightarrow\)Biểu thức luônđược xác định với mọi x

\(\sqrt{8-2\sqrt{7}}-\sqrt{23-8\sqrt{7}}=\) \(\sqrt{1-2\sqrt{7}+7}-\sqrt{7-2.4.\sqrt{7}+16}\)

\(=\sqrt{\left(1-\sqrt{7}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}-4\right)^2}\)

\(=\sqrt{7}-1-\left(-\sqrt{7}+4\right)\)

\(=\sqrt{7}-1+\sqrt{7}-4\)\(=2\sqrt{7}-5\)

chúc bn học tốt

=\(\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}\)- \(\sqrt{\left(4-\sqrt{7}\right)^2}\)

= \(\sqrt{7}\)- 1 - 4 + \(\sqrt{7}\)

= \(2\sqrt{7}\)-5

đ/á ra hơi kì

#mã mã#

\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(\cot=\frac{1}{\tan}=\frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3y^3+1=2y^2\left(1\right)\\\frac{x^2}{y^2}+\frac{x}{y^2}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

(1)   : (xy + 1) (x²y² + xy +1 )=2y²

  (2) :  \(\frac{x}{y}\)(  x + \(\frac{1}{y}\)) = 2

         \(\frac{x\left(xy+1\right)}{y^2}\)=2

         x(xy +1 ) =2y²

\(\Rightarrow\)x(xy +1 )=( x²y²  + xy +1 ). (xy +1 )

(xy + 1 ) (x - x²y² - xy - 1 ) = 0

\(\orbr{\begin{cases}xy+1=0\\x-x^2y^2-xy-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xy=-1\\x-x^2y^2-xy-1=0\end{cases}}\)

tự giải tiếp nha

#mã mã#

ĐKXĐ \(\frac{3}{4}\le x\le5\)

Ta có \(x^2-2x-8+3\sqrt{4x-3}-2\sqrt{10-2x}=0\)

<=> \(x^2-2x-3+3\left(\sqrt{4x-3}-3\right)+2\left(2-\sqrt{10-2x}\right)=0\)

<=> \(\left(x-3\right)\left(x+1\right)+3.\frac{4x-12}{\sqrt{4x-3}+3}+2.\frac{2x-6}{2+\sqrt{10-2x}}0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=3\left(tmĐKXĐ\right)\\x+1+\frac{12}{\sqrt{4x-3}+3}+\frac{4}{2+\sqrt{10-2x}}=0\left(2\right)\end{cases}}\)

PT (2) vô nghiệm do VT>0 với x thuộc ĐKXĐ

Vậy x=3