Hình Tự Vẽ

 Xét \(\Delta AEC\)và \(\Delta ADB\)có :\(\widehat{A}\)chung :\(\widehat{E}\)=\(\widehat{D}\)\(\Rightarrow\)\(\Delta AEC\)\(\approx\)\(\Delta ADB\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta HDC\)và \(\Delta HEB\)có : \(\widehat{D}\)=\(\widehat{C}\); \(\widehat{HCD}\)=\(\widehat{HBE}\)\(\Rightarrow\)\(\Delta HDC\)\(\approx\)\(\Delta HEB\)\(\Rightarrow\)\(\frac{HB}{HC}\)= \(\frac{HE}{HD}\)\(\Rightarrow\)HB.HD=HC.HE

a) Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

Chung DAB; 2 góc vuông ADB=AEC=90 độ (có 2 đường cao BD, CE lần lượt hạ từ B; C xuống)

=> Đồng dạng theo TH gg

b; c) Có: BEC=BDC=90 độ

=> Tứ giác BCDE nội tiếp 

=> góc HDE= góc ECB (tính chất)

=> tam giác HDE đồng dạng tam giác HCB (gg)

=> \(\frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}\)

=> \(HD.HB=HC.HE\)(ĐPCM)

d) Xét tứ giác ADHE có: góc ADH=góc AEH=90 độ 

=> góc ADH + góc AEH=90+90=180 độ 

=> Tứ giác ADHE nội tiếp 

=> góc AHD=góc AED (tính chất) (*)

Có tứ giác BCDE nội tiếp (cmt) => góc AED=góc ACB (tính chất) (**)

Từ (*) và (**) => góc ACB=góc AHD.

=> Tam giác DHA đồng dạng tam giác DCB (gg) khi có \(\hept{\begin{cases}ACB=AHD\left(cmt\right)\\ADH=BCD=90\end{cases}}\)

=> \(\frac{DH}{DA}=\frac{DC}{DB}\)

=> \(DH.DB=DA.DC\)(ĐPCM)

e) Đề bài sai nhé (CM đồng dạng chứ ko phải là CM bằng nhau)

Có: góc AED=góc ACB (cmt)

Và có chung góc DAE

=> Tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB (gg)

=> ĐPCM

Hình Tự kẻ

Xét Tam giác ABC và Tam giác DBE có : BAC = BDE ; ABC = DBE

Từ Tam giác ABC và Tam giác DBE đồng dạng suy ra góc C = Góc E

Xét Tam giác MDC và MAE (đồng dạng ) suy ra MA / MD = ME / MC  , suy ra MA.MC=MD.ME

Xét tam giác MAD và Tam giác MCE có : AMD = CME ; MA/MD=ME/MC , Suy ra Tam giác MAD đồng dạng với Tam giác MEC

a, Xét tam giác ABC và tam giác DBE có :

              góc B chung 

              góc BAC = góc BDE (=90độ )

Do đó : tam giác ABC đồng dạng với tam giác DBE ( g.g )

b, Xét tam giác MAE và tam giác MDC có :

              góc MAE = góc MDC ( = 90độ )

              góc AME = góc DMC ( đối đỉnh )

Do đó : tam giác MAE đồng dạng với tam giác MDC ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{MA}{MD}=\frac{ME}{MC}\)

\(\Rightarrow MA.MC=MD.ME\)

c,d :  Tự làm nốt nhé , em mới lớp 7 nên đến đây chịu ạ .

Học tốt

a) 4x² - 4x + 5 

= 4x² - 4x + 1 + 4

= ( 2x - 1 )² + 4 

\(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(2x-1\right)^2+4\ge4>0\forall x\)( trái với đề bài )

=> BPT vô nghiệm ( đpcm )

b) x² + x + 1 

= x² + 1/2x + 1/4 + 3/4

= ( x + 1/2 )² + 3/4

\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)( trái với đề bài )

=> BPT vô nghiệm ( đpcm ) 

Bài làm:

a) Ta có: \(4x^2-4x+5=\left(4x^2-4x+1\right)+4=\left(2x-1\right)^2+4\ge4>0\left(\forall x\right)\)

Kết hợp với đề bài => vô lý

=> BPT vô nghiệm

b) \(x^2+x+1=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\)

Kết hợp với đề bài => vô lý

=> BPT vô nghiệm

Bài làm:

a) Ta có: \(x^2-2x+3< -2x+3\)

\(\Rightarrow x^2< 0\)

=> vô lý

=> vô nghiệm

b) \(x^2+2x+2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+1\le0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2\le-1\)

=> vô lý

=> vô nghiệm

a, \(x^2-2x+3< -2x+3\Leftrightarrow x^2< 0\)

Mà \(x^2\ge0\forall x\)=> BFT vô nghiệm 

b, \(x^2+2x+2\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\le1\)Mà \(\left(x+1\right)^2\ge0\)

=> BFT vô nghiệm 

Bài làm:

a) Ta có: \(x^2+1< 1\)

\(\Leftrightarrow x^2< 0\)

Mà  \(x^2\ge0\left(\forall x\right)\)

=> vô lý

=> BPT vô nghiệm

b) \(x^2+2x< 2x\)

\(\Rightarrow x^2< 0\)

tương tự a BPT vô nghiệm

a, \(x^2+1< 1\Leftrightarrow x^2< 0\)

Mà \(x^2\ge0\forall x\)=> đpcm 

b, \(x^2+2x< 2x\Leftrightarrow x^2< 0\)

Mà \(x^2\ge0\forall x\)=> đpcm

\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\)

\(P+3\ge2\sqrt{\frac{x^4}{y^2}}+2\sqrt{\frac{y^4}{z^2}}+2\sqrt{\frac{z^4}{x^2}}=2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)

Theo bất đẳng thức Svacso ta có

\(P+3\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge2\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}\right)=2\left(x+y+z\right)=6\)

dấu = xay ra khi x = y = z = 1

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)

\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=2\left(x+y+z\right)=6\)

\(\Leftrightarrow P\ge3\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Đặt x² + x + 1 = k²

<=> 4x² + 4x + 4 = 4k²

<=> 4k² - 4x² - 4x + 1 - 5 = 0

<=> (2k)² - (2x -1)² = 5

<=> (2k + 2x -1)(2k - 2x - 1) = 5

Vì x, k nguyên nên ta có các trường hợp:

\(TH_1\hept{\begin{cases}2k+2x-1=5\\2k-2x-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\k=2\end{cases}}}\)

\(TH_2\hept{\begin{cases}2k+2x-1=1\\2k-2x-1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\k=2\end{cases}}}\)

\(TH_3\hept{\begin{cases}2k+2x-1=-1\\2k-2x-1=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}\)

\(TH_4\hept{\begin{cases}2k+2x-1=-5\\2k-2x-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}\)

Vậy các số nguyên x là ( -1; 1 )

đặt \(x^2+x+23=k^2\left(k\in N\right)\Leftrightarrow4x^2+4x+92=4k^2\Leftrightarrow4k^2-\left(2x+1\right)^2=91\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=91\)

vì 2k+2x+1>2k-2x-1>0 nên xảy ra 2 trường hợp sau

th1 2k+2x+1=91 và 2k-2x-1=1 => x=22

th2 2k+2x+1=1 và 2k-2x-1=7 => x=1

vậy x=22; x=1 thì \(\sqrt{x^2+x+3}\)là số hữu tỉ

Để AA là số chính phương ⇒26n+17=t2(t∈N)⇒26n+17=t2(t∈N)

⇒26n+13=t2−4⇒26n+13=t2−4

⇒13(2n+1)=(t−2)(t+2)(1)⇒13(2n+1)=(t−2)(t+2)(1)

⇒(t−2)(t+2)⋮13⇒(t−2)(t+2)⋮13⇒⎡⎣t−2⋮13t+2⋮13⇒[t−2⋮13t+2⋮13

*)Xét t+2⋮13⇒t+2=13m(m∈N)t+2⋮13⇒t+2=13m(m∈N)⇒t=13m−2⇒t=13m−2

Thay vào (1)(1)⇒13(2n+1)=13m(13m−4)⇒13(2n+1)=13m(13m−4)

⇒2n+1=m(13m−4)⇒n=13m2−4m−12⇒2n+1=m(13m−4)⇒n=13m2−4m−12

*)Xét t−2⋮13⇒t−2=13m(m∈N)t−2⋮13⇒t−2=13m(m∈N)⇒t=13m+2⇒t=13m+2

Thay vào (1)(1)⇒13(2n+1)=13m(13m+4)⇒13(2n+1)=13m(13m+4)

⇒2n+1=m(13m+4)⇒2n+1=m(13m+4)⇒n=13m2+4m−12⇒n=13m2+4m−12

Vậy.....

chúc bạn hok tốt

đặt \(\hept{\begin{cases}n+5=x^2\\n+30=y^2\end{cases}\left(x;y\in N;x,y>0\right)}\)

\(\Leftrightarrow y^2-x^2=25\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y+x\right)=1.25\)(vì x,y thuộc N, x,y>0)

lại có y-x<y+x nên \(\hept{\begin{cases}y+x=1\\y+x=25\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=13\\x=12\end{cases}}}\)

thay vào ta được n=139 thỏa mãn