Áp dụng Svac + Cô-si 3 số được

\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=VP\left(đpcm\right)\)

"=" tại a = b = c

Áp dụng Svac

\(\Sigma\frac{a^3}{b+c}=\Sigma\frac{a^4}{ab+ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

"=" tại a=b=c

E thử làm cách khác ạ:))

Không mất tính tổng quát,giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT Trebysev ta có:

\(a^2\cdot\frac{a}{b+c}+b^2\cdot\frac{b}{a+c}+c^2\cdot\frac{c}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(nesbitt\right)\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(a=b=c\)

\(=\frac{\left(\sin a+\cos a-\sin a+\cos a\right)\left(\sin a+\cos a+\sin a-\cos a\right)}{\sin a.\cos a}=\frac{2.\cos a.2.\sin a}{\sin a.\cos a}=4\)

\(\frac{cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\frac{1+sin\alpha}{cos\alpha}\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha=\left(1-sin\alpha\right)\left(1+\sin\alpha\right)\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha=1-sin^2\alpha\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha+sin^2\alpha=1\left(Đúng\right)\)

Lời giải :

a) \(\sqrt{\left(0,1-\sqrt{0,1}\right)^2}\)

\(=0,1-\sqrt{0,1}\)

b) \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}-1\)

c) \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}=\sqrt{2}+1\)

d) \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5-4\sqrt{5}+4}=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}=\sqrt{5}-2\)

e) \(\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{9-2\cdot3\cdot\sqrt{7}+7}=\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}=3-\sqrt{7}\)

\(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-20x+25}=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-5\right)^2}\)

\(A=\left|2x-1\right|+\left|5-2x\right|\ge\left|2x-1+5-2x\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left(2x-1\right)\left(5-2x\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)

Mấy bài bn đăng tương tự :) 

Bài làm:

Ta có: \(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-20x+25}\)

\(A=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-5\right)^2}\)

\(A=\left|2x-1\right|+\left|2x-5\right|\)

\(A=\left|1-2x\right|+\left|2x-5\right|\)\(\ge\left|1-2x+2x-5\right|=\left|-4\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(1-2x\right)\left(2x-5\right)\ge0\)

Giải BPT trên ra ta được \(\frac{5}{2}\ge x\ge\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min\left(A\right)=4\Leftrightarrow\frac{5}{2}\ge x\ge\frac{1}{2}\)

Ngại làm lần 2 quá bạn ơi 

Câu hỏi của Chuột yêu Gạo - Toán lớp 9 | Học trực tuyến