A B C D E F M

Vì ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB//CD\\AD//BC\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB//EC\left(E\in DC\right)\\AF//BC\left(F\in AD\right)\end{cases}}\)

Xét tam giác ABM có \(EC//AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MB}{ME}=\frac{AM}{MC}\)( định lý Ta-let) (1)

Xét tam giác  MBC có \(AF//BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{MC}=\frac{MF}{MB}\)( định lý Ta-let) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{MB}{ME}=\frac{MF}{MB}\)

\(\Rightarrow MB^2=ME.MF\left(đpcm\right)\)

ABCDMNO

Xét △ADC có :MO // DC  

\(\Rightarrow\frac{MO}{DC}=\frac{AO}{AC}\)(Hệ quả định lí Thales)   (1)

Xét △BDC có : ON // DC

\(\Rightarrow\frac{NO}{DC}=\frac{BO}{BD}\)(Hệ quả định lí Thales)    (2)

Xét △ODC có AB // DC

\(\Rightarrow\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}\)(Theo hệ quả định lí Thales)   (3)

Từ (1) ; (2) và (3) :

\(\Rightarrow\frac{OM}{CD}=\frac{ON}{CD}\)

\(\Rightarrow OM=ON\left(ĐPCM\right)\)

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne2\end{cases}}\)

\(\frac{x+2}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{8}{x^2-2x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2}{x-2}-\frac{5}{x}-\frac{8}{x\left(x-2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)-5\left(x-2\right)-8}{x\left(x-2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-5x+10-8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\x=2\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1\right\}\)

b) Bạn viết lại chứ mik k hiểu :33

Bạn kiểm tra lại đề nhé:

Chứng minh: \(\frac{HE}{AA'}+\frac{HE}{BB'}+\frac{HF}{CC'}=2\)

Ta có:

\(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S\left(HBC\right)}{S\left(ABC\right)}\); \(\frac{HB'}{BB'}=\frac{S\left(HAC\right)}{S\left(ABC\right)}\); \(\frac{HC'}{CC'}=\frac{S\left(BHA\right)}{S\left(ABC\right)}\)

=> \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=\frac{S\left(HAB\right)+S\left(HAC\right)+S\left(HBC\right)}{S\left(ABC\right)}=1\)

=> \(\frac{2HA'}{AA'}+\frac{2HB'}{BB'}+\frac{2HC'}{CC'}=2\)

Lại có: E; D; F lần lượt đối xứng với H qua BC; AC; AB 

=> HE = 2HA'; HD = 2HC'; HF = 2HB' 

=> \(\frac{HE}{AA'}+\frac{HE}{BB'}+\frac{HF}{CC'}=2\)