Để \(A\left(x\right)⋮B\left(x\right)\)thì \(\left(a-3\right)x+\left(b+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-3=0\\b+5=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-5\end{cases}}\)

a,Ta có \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HD.BC}{\frac{1}{2}AD.BC}=\frac{HD}{AD}\)

tương tự \(\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HE}{BE};\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HF}{CF}\)

\(\Rightarrow\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(ĐPCM\right)\)

b, bổ sung đề rồi mình làm tiếp cho ạ

Câu b) em có cách này cô ạ, cô check giùm em xem có đúng không ạ :

Ta có : \(\frac{HA}{AD}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\frac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABC}}\)

( Tính chất dãy tỉ số bằng nhau )

Tương tự ta có :

\(\frac{HB}{BE}=\frac{S_{AHB}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\), \(\frac{HC}{CF}=\frac{S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Khi đó : \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=\frac{2\left(S_{ABH}+S_{AHC}+S_{BHC}\right)}{S_{ABC}}=\frac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\)

Vậy : \(\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=2\)

Theo đề bài ta có :

\(F\left(x\right)=\left(x-1\right)\cdot Q\left(x\right)-4\) (1)

\(F\left(x\right)=\left(x+2\right)\cdot R\left(x\right)+5\) (2)

Thay \(x=1\) vào (1) ta có :

\(F\left(1\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow1+a+b+c=-4\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=-5\)

Thay \(x=-2\) vào (2) ta có :

\(F\left(-2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow-8+4a-2b+c=5\)

\(\Leftrightarrow4a-2b+c=13\)

Do đó ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b+c=-4\\4a-2b+c=13\end{cases}}\)

....

Em tham khảo cách chứng minh định lí Menelauyt. 

\(\frac{1}{x-2}-\frac{6}{x+3}=\frac{5}{6-x^2-x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x-2}-\frac{6}{x+3}+\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+3-6\left(x-2\right)+5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow x+3-6x+12+5=0\)

\(\Leftrightarrow-5x+20=0\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{4\right\}\)