1,Cho A=x/y+1 +y/x+1 bới x>0;y>0 và x+y=1
tìm GTNN,GTLN của A
2,Cho a+b+c=3 và a,b,c >0
Chứng minh \(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{3}{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
2n+2017 là số chính phương lẻ => 2n+2017 chia 8 dư 1
=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
=> n+2019 chia ch 4 dư 3
mà số chính phương chia cho 4 dư 0,1
=> không tồn tại n
Sửa đề: Biết x - y = -3.
\(x^3-y^3-x^2-y^2+11xy\)
= \(\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-\left(x-y\right)^2-2xy+11xy\)
= \(\left(-3\right)^3+3xy.\left(-3\right)-\left(-3\right)^2+9xy\)
\(=-27-9=-36\)
Gọi thời gian người thứ 1 làm 1 mình xong công việc là x ngày (x>0)
\(\Rightarrow\)Thời gian người thứ 2 làm 1 mình xong công việc là x + 6 ngày
Ta có phương trình :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+6+x}{x^2+6x}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x+6}{x^2+6x}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow8x+24=x^2+6x\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-24=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6=0\\x+4=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\left(tm\right)\\x=-4\left(ktm\right)\end{cases}}\)
Vậy thời gian người thứ nhất làm 1 mình ong công việc là 6 ngày
thời gian người thứ hai làm 1 mình xong công việc là 6 + 6 = 12 ngày
\(x\left(x-1\right)\left(x^2-x+1\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)\left(x^2-x+1\right)-6=0\)
Đặt \(t=x^2-x\), ta có :
\(t\left(t+1\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(t-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-x+3=0\\x^2-x-2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}=0\left(ktm\right)\\\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\left(tm\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{2;-1\right\}\)
\(x\left(x-1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)
\(x^2-x+1\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}}\)
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1