\(A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}\)

\(A=\sqrt{\frac{x^2}{2xyz.yz+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{2xyz.xz+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{2xyz.xy+xz.yz}}\)

\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(xy+yz+xz\right)+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{xz\left(xy+yz+xz\right)+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(xy+yz+xz\right)+xz.yz}}\)

\(A=\sqrt{\frac{x^2}{\left(yz+xy\right)\left(yz+xz\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{\left(xz+xy\right)\left(xz+yz\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{\left(xy+yz\right)\left(xy+xz\right)}}\)

Áp dụng bđt \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) ta có:

\(2A\le\frac{x}{yz+xy}+\frac{x}{yz+xz}+\frac{y}{xz+xy}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+xz}\)

\(=\frac{x+z}{yz+xy}+\frac{x+y}{yz+xz}+\frac{y+z}{xz+xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Mà: \(xy+yz+xz=2xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)

\(\Rightarrow2A\le2\Rightarrow A\le1."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{2}\)

Áp dụng định lý Py - ta -go ta có 

\(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow AB=\sqrt{BH^2+AH^2}\Rightarrow AB=\sqrt{9^2+12^2}=15cm\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BC=\frac{AB^2}{BH}=\frac{15^2}{9}=25cm\)

Diện tích tam giác ABC \(=\frac{1}{2}.25.12=150cm^2\)

ĐK: \(3x^2-2x-3\ge0\)(1)

Đặt : \(\sqrt{3x^2-2x-3}=t\left(t\ge0\right)\)

Ta có : \(3x^2-2x-3=t^2\Leftrightarrow3x^2=t^2+2x+3\)

Thế vào ta có phương trình :

\(t^2+2x+3+3x+2=\left(x+6\right).t\)

<=> \(t^2-\left(x+6\right)t+5x+5=0\)

<=> \(\left(t^2-\left(x+1\right)t\right)-\left(5t-5\left(x+1\right)\right)=0\)

<=> \(t\left(t-x-1\right)-5\left(t-x-1\right)=0\)

<=> \(\left(t-x-1\right)\left(t-5\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}t-x-1=0\\t-5=0\end{cases}}\)

Với \(t-x-1=0\Leftrightarrow t=x+1\)

Ta có phương trình: \(\sqrt{3x^2-2x-3}=x+1\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\3x^2-2x-3=x^2+2x+1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x^2-2x-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{3}\end{cases}}\)( thỏa mãn đk (1))

Với \(t-5=0\Leftrightarrow t=5\)

Ta có phương trình : \(\sqrt{3x^2-2x-3}=5\Leftrightarrow3x^2-2x-28=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1-\sqrt{85}}{3}\\x=\frac{1+\sqrt{85}}{3}\end{cases}}\)( tm)

Vậy : ....

Đặt t = √(3x² - 2x - 3) ≥ 0 (ĐK(*) => 3x² + 3x + 2 = (3x² - 2x - 3) + 5(x + 1) = t² + 5(x + 1) 

Thay vào pt ta có:
t² + 5(x + 1) = (x + 6)t 
<=> t² - t(x + 1) - 5t + 5(x + 1) = 0 
<=> t(t - x - 1) - 5(t - x - 1) = 5 
<=> (t - 5)(t - x - 1) = 0 
TH1 t - 5 = 0 <=> t = 5 (thỏa mãn đk (*) => 3x² - 2x - 3 = 25

<=> 9x² - 6x + 1 = 85

<=> (3x - 1)² = 85

<=> 3x - 1 = ± √85

<=> x = (1/3)(1 ± √85) 
TH2 t - x - 1 = 0 <=> t = x + 1 => 3x² - 2x - 3 = (x + 1)² <=> x² - 2x + 1 = 3 <=> (x - 1)² = 3 <=> x - 1 = ± √3 <=> x = 1 ± √3

=> t = 2 ± √3 > 0 (thỏa mãn Đk (*) 

Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{2020-x}{6-x}\)

Ta có : \(\frac{2020-x}{6-x}=\frac{6-x+2014}{6-x}=\frac{6-x}{6-x}+\frac{2014}{6-x}=1+\frac{2014}{6-x}\)

Đa thức lớn nhất \(\Leftrightarrow1+\frac{2014}{6-x}\)lớn nhất  \(\Rightarrow\frac{2014}{6-x}\)lớn nhất  \(\Rightarrow6-x\)nhỏ nhất và \(6-x>0\)

Mà \(x\in Z\)\(\Rightarrow x=5\)

Vậy giá trị lớn nhất của đa thức \(=\frac{2020-5}{6-5}=2020-5=2015\)\(\Leftrightarrow x=5\)

ĐK: \(x^2+5x+3\ge0\); \(x^2+5x-2\ge0\)(1)

 \(\sqrt{x^2+5x+3}+\sqrt{x^2+5x-2}=5\)(2)

Dễ thấy 

\(\sqrt{x^2+5x+3}\ne\sqrt{x^2+5x-2}\)

pt (2) <=> \(\frac{5}{\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}}=5\)

<=> \(\frac{1}{\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}}=1\)

<=>\(\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}=1\)

<=> \(\sqrt{x^2+5x+3}=1+\sqrt{x^2+5x-2}\)

<=> \(x^2+5x+3=1+x^2+5x-2+2\sqrt{x^2+5x-2}\)

<=> \(\sqrt{x^2+5x-2}=2\)

<=> \(x^2+5x-6=0\)

<=> x=1 ( tm đk (1) )

hoặc x=-6  ( tmđk (1))

√x²+5x+3 + √x²+5x-2 =5

<=> √x²+5x+3 = 5-√x²+5x-2

<=> x²+5x+3=25-10√x²+5x-2 +x²+5x-2

<=> 3=25-10√x²+5x-2  -2

<=> 3=23-10√x²+5x-2

<=> 10√x²+5x-2=23-3=20

<=> √x²+5x-2=2

<=> x²+5x-2=4

<=> x²+5x-2-4=0

<=> x²+5x-6=0

<=> x=-5(+-) √5²-4.1.(-6) / 2.1

<=> x=-5(+-)√25+24 / 2

<=>x=-5+7 / 2 hoặc x=-5-7 / 2

<=> x=1 hoặc x=(-6)

\(x=1-\sqrt{2012}\Leftrightarrow1-x=\sqrt{2012}\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^2=2012\Leftrightarrow x^2-2x-2011=0\)

Ta có: 

\(A=\left(x^5-2x^4-2012x^3+3x^2+2009x-2012\right)^{2012}\)

\(A=\left[\left(x^5-2x^4-2011x^3\right)-\left(x^3-2x^2-2011x\right)+\left(x^2-2x-2011\right)-1\right]^{2012}\)

\(A=\left[\left(x^3-x+1\right)\left(x^2-2x-2011\right)-1\right]^{2012}=1\)

Ta có

\(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left[4\left(4-y-z\right)+yz\right]}\)

                                             \(=\sqrt{x\left(4\left(x+\sqrt{xyz}\right)+yz\right)}\)

                                             \(=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}\)

                                              \(=2x+\sqrt{xyz}\)

Khi đó \(T=2\left(x+y+z\right)+3\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2.4=8\)

\(P=\frac{\sqrt{a^2}\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right)}{\sqrt{a^2-2a+1}}=\frac{a\left(\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}-1\right)}{a-1}\)

\(=\frac{2a\sqrt{a-1}}{a-1}=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}\)

Từ a \(\ge\)2 \(\Leftrightarrow2a\ge4\left(1\right)\)

\(a\ge2\Leftrightarrow a-1\ge1\Leftrightarrow\sqrt{a-1}\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a-1}}\le1\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{2a}{\sqrt{a-1}}\ge4\)hay \(P\ge4\)