\(x\left(x+y\right)-xy\left(x+y\right)=x^2+xy-x^2y-xy^2=-x\left(x+y\right)\left(y-1\right)\)

Thay x = 1 ; y = -5 ta có : 

\(-1\left(1-5\right)\left(-5-1\right)=-1\left(-4\right)\left(-6\right)=-24\)

\(x\left(x+y\right)-xy\left(x+y\right)\)

\(=\left(x-xy\right)\left(x+y\right)\)

\(=x\left(1-y\right)\left(x+y\right)\)

Thay x = 1 ; y = -5 vào biểu thức ta có :

\(1.\left[1-\left(-5\right)\right].\left[1+\left(-5\right)\right]=1.6.\left(-4\right)=-24\)

Vậy tại x = 1 ; y = -5 thì biểu thức x(x+y) - xy(x+y) có giá trị = -24

Ta có:

\(A=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(1^4+4\right)\left(2^4+4\right)}{2}\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\)

\(=5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\)

Đặt \(2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)=c\)

Từ công thức: \(a^x\cdot b^x=\left(ab\right)^x\left(a,b,x\inℤ\right)\Rightarrow a^2\cdot b^2=\left(ab\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Nếu \(c\) là số chính phương thì \(5^2\cdot\left[2\cdot\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\right]\) là số chính phương.

Có thể thấy các thừa số của tích \(c\) mà có dạng \(\left(2d\right)^4+4\left(d\inℕ\right)\) thì chia hết cho \(2^2\).

Phân tích các thừa số của tích \(c\) ra thừa số nguyên tố. Ta có:

\(c=2\cdot\left(...\right)\left(2^2\cdot5\cdot13\right)\left(...\right)\left(2^2\cdot5^2\cdot13\right)...\left(2020^4+4=2^2\cdot...\right)\left(2021^4+4=...\cdot...\right)\)

Gộp các thừa số \(2^2\) lại thành tích ta có:

\(c=\left(2^2\right)^{\frac{\left(2021-3+1\right)-1}{2}}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^2\right)^{1009}\cdot2\cdot e\)

\(=\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) (trong đó ký hiệu \(e\) là tích của các thừa số nguyên tố còn lại trong dãy \(\left(3^4+4\right)\left(4^4+4\right)...\left(2021^4+4\right)\) sau khi 1009 thừa số \(2^2\) bị tách ra.

Có thể thấy tích \(e\) gồm các thừa số nguyên tố lớn hơn 2\(\Rightarrow2e\) không thể là số chính phương.

\(\Rightarrow\left(2^{1009}\right)^2\cdot2\cdot e\) không phải là số chính phương\(\Rightarrow c\) không phải là số chính phương.

\(\Rightarrow A\) không phải là số chính phương (đpcm).

\(x^4+2x^3+3x^2+2x=y^2-y\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=y^2-y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)^2=\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1-y+\frac{1}{2}\right)\left(x^2+x+1+y-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-y+\frac{3}{2}\right)\left(x^2+x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2+2x-2y+3\right)\left(2x^2+2x+2y+1\right)=3\)

Đến đây chắc khó.

Có AD \(\perp\)BC nên ta có \(\widehat{ACD}=90-\widehat{DAC}\)

cmtt có \(\widehat{AHE}=90-\widehat{DAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\)

Xét \(\Delta\) AFE và \(\Delta\) ABC có 

\(\widehat{AFE}=\widehat{ACD}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BAC}chung\)

\(\Rightarrow\Delta AFE\infty\Delta ABC\left(g-g\right)\)

#cỪu

a, Xét Tam giác MBC có góc BMC lớn nhất vì là góc tù

=>BC>MC>BM

còn câu B bạn viết gì mình khong hiểu

C1 : Cardano (mk chưa học )

C2 : Mode set up -> 5 -> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 

PT <=> \(x_1=-1,209...;x_2=2,104....\)

dùng lượng giác hóa cũng được các bạn nhé 

Biến đổi giả thiết \(2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)=2ab\)

Mà ta có: \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)nên \(2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(*)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)nên từ (*) suy ra \(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Đặt \(s=a+b>0\)thì \(s^2-s\le\frac{s^2}{2}\Leftrightarrow\frac{s^2}{2}-s\le0\Leftrightarrow s^2-2s\le0\Leftrightarrow s\left(s-2\right)\le0\)

Mà \(s>0\)nên \(s-2\le0\Rightarrow s\le2\)hay \(a+b\le2\)

\(F=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+2020\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ab}+2020.\frac{4}{a+b}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2ab}+\frac{8080}{a+b}\ge\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+b}\right)+\frac{8072}{a+b}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}.\frac{4}{a+b}.\frac{4}{a+b}}+\frac{8072}{2}=4042\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

a) Ta có A = 4x² - 4x + 1 = (2x - 1)² \(\ge0\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2x - 1 = 0 => x = 0,5

Vậy GTNN của A là 0 khi x = 0,5

b) Ta có x² + 4y² + 4xy = x² + 2xy + 2xy + 4y²  = x(x + 2y)   + 2y(x + 2y) = (x + 2y)² \(\ge0\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + 2y = 0 => x = - 2y

Vậy GTNN của B là 0 khi x = -2y

a) 4x² - 4x + 1 = ( 2x - 1 )² ≥ 0 ∀ x 

Đẳng thức xảy ra <=> 2x - 1 = 0 => x = 1/2

Vậy GTNN của biểu thức = 0 <=> x = 1/2

b) x² + 4y² + 4xy = ( x + 2y )² ≥ 0 ∀ x ,y 

Đẳng thức xảy ra <=> x + 2y = 0 => x = -2y

Vậy GTNN của biểu thức = 0 <=> x = -2y

a. \(4x-x^2+3=-\left(x-2\right)^2+7\)

Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy bt max = 7 <=> x = 2

b. \(2x-2x^2-7=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{2}\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{2}\le-\frac{13}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy bt max = - 13/2 <=> x = 1/2

a) 4x - x² + 3

= -( x² - 4x + 4 ) + 7

= -( x - 2 )² + 7

-( x - 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x - 2 )² + 7 ≤ 7

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

Vậy GTLN của biểu thức = 7 khi x = 2

b) 2x - 2x² - 7

= -2( x² - x + 1/4 ) - 13/2

= -2( x - 1/2 )² - 13/2

-2( x - 1/2 )² ≤ 0 ∀ x => -2( x - 1/2 )² - 13/2 ≤ -13/2

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

Vậy GTLN của biểu thức = -13/2 khi x = 1/2