\(x\left(x+1\right)=2+4+6+...+2500\)

=>\(x\left(x+1\right)=2\cdot\left(1+2+3+...+1250\right)\)

=>\(x\left(x+1\right)=2\cdot\dfrac{1250\cdot1251}{2}=1250\cdot1251\)

=>x=1250

`x . (x + 1) = 2 + 4 +6 + ...+ 2500`

`=> x . (x + 1) = (2500 + 2) . [(2500 - 2) : 2 + 1] : 2`

`=> x . (x + 1) = 2502 . 1250 : 2`

`=> x . (x + 1) =1251. 1250`

`=> x . (x + 1) = (1250+1). 1250`

Do x là số nhiên, nên `x = 1250.`

Vậy `x = 1250 `

----------------------------

Phân tích thành nhân từ cũng được nhé:

`=> x . (x + 1) =1251. 1250`

`=> x^2 + x - 1251. 1250 = 0`

`=> x^2 + 1251x - 1250x - 1251. 1250 = 0`

`=> (x^2 + 1251x) - (1250x +  1251. 1250) = 0`

`=> x(x + 1251) - 1250 (x + 1251) = 0`

`=> (x-1250)(x+1251) = 0`

`=> x = 1250` hoặc `x = -1251`

Mà `x` là số tự nhiên nên `x = 1250`

Nửa chu vi sân trường là 142:2=71(m)

Chiều dài sân trường là (71+13):2=84:2=42(m)

Chiều rộng sân trường là 42-13=29(m)

Diện tích sân trường là:

42x29=1218(m²)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành 

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)

Lại có: `\(\)BF, DE` lần lượt là phân giác của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ADC}\)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{EDC}=\widehat{ABF}=\widehat{FBC}\)

Mà `AB` // `DC =>` \(\widehat{ABF}=\widehat{BFC}\) (2 góc so le trong)

=> \(\widehat{EDC}=\widehat{BFC}\) 

Mà 2 góc đó là 2 góc đồng vị 

`=> DE` // `BF` (đpcm)

a: Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

\(CF=FD=\dfrac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AE=EB=CF=FD

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Xét tứ giác BFDE có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BFDE là hình bình hành

=>BF//DE
=>EM//FN

Ta có AECF là hình bình hành

=>AF//CE

=>MF//EN

Xét tứ giác EMFN có

EM//FN

EN//FM

Do đó: EMFN là hình bình hành

c: Ta có: EMFN là hình bình hành

=>EF cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AECF là hình bình ahfnh

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,EF,MN đồng quy

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét ΔMAC có \(\widehat{AMB}\) là góc ngoài tại M

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\cdot\widehat{ACB}=2\alpha\)

=>\(sin2\alpha=sinAMB=\dfrac{AH}{AM}=AH:\dfrac{BC}{2}=\dfrac{2AH}{BC}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(sinC=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosC=\dfrac{AC}{BC}\)

\(2sin\alpha\cdot cos\alpha=2\cdot\dfrac{AH}{AC}\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\cdot AH}{BC}\)

Do đó: \(sin2\alpha=2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha\)

b: \(cos2\alpha=cosAMH=\dfrac{HM}{AM}\)

=>\(1+cos2\alpha=1+\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HC}{AM}=\dfrac{2\cdot HC}{BC}=2\cdot\dfrac{AC^2}{BC^2}\)

\(2\cdot cos^2\alpha=2\cdot cos^2C=2\cdot\left(\dfrac{CA}{BC}\right)^2=2\cdot\dfrac{CA^2}{CB^2}\)

Do đó: \(1+cos2\alpha=2\cdot cos^2\alpha\)

c: \(1-cos2\alpha=1-cosAMH=1-\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HB}{AM}=\dfrac{2HB}{BC}=2\cdot\dfrac{AB^2}{BC^2}\)

\(2\cdot sin^2\alpha=2\cdot sin^2ACB=2\cdot\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2\)

Do đó: \(1-cos2a=2\cdot sin^2\alpha\)

Do chia hết cho 2 nên \(\overline{246a}\) là số chẵn.

Ta có: (2 + 4 + 6 + a) ⋮ 3

⇒ (12 + a) ⋮ 3

Do 12 ⋮ 3 nên để \(\overline{246a}\) là số chẵn lớn nhất thì a chỉ có thể = 6 do 6 là số chẵn có 1 chữ số lớn nhất ⋮ 3. Vậy a = 6

Đáp số: 6