Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các bài này đều giải bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất.
a) Đặt \(u=\dfrac{1}{x-1};v=\dfrac{1}{y-2}\), hệ phương trình trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}6u-5v=7\\3u+2v=1\end{matrix}\right.\)
b) Đặt \(z=x^2\left(z\ge0\right)\), hệ phương trình trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}2z+3y=17\\3z-2y=6\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(a+1\right)\left(a+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+1}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{a+b^2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(b=1\)
\(3x+7y=55\)
\(\Leftrightarrow3x-6=49-7y\)
\(\Rightarrow3\left(x-2\right)=7\left(7-y\right)\)
Do 3 và 7 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow x-2⋮7\Rightarrow x-2=7k\)
\(\Rightarrow x=7k+2\) \(\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow y=7-3k\)
Mà x;y nguyên dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7k+2>0\\7-3k>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{2}{7}< k< \dfrac{7}{3}\)
\(\Rightarrow k=\left\{0;1;2\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(2;7\right);\left(9;4\right);\left(16;1\right)\)
3x + 7y = 55
học sinh đc nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên :
{x-110+7t
{y=55-3t
{x>0<=>{-110+7t>0(t thuộc z)<=>{t>110/7
{y>0<>={55-3t>0 {t<55/3 (t thuộc z)>T thuộc {16;17;18}
vậy phương trình trên có 3 nghiệm dương là:
(2;7);(9;4);(16;1).
bạn tự trình bày nhé
Đặt \(P=\dfrac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+\sqrt{ab}}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}}\)
Áp dụng BĐT Holder:
\(P^2.\left[a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)}\)
Mặt khác:
\(a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)\le a\left(b+\dfrac{a+c}{2}\right)+b\left(c+\dfrac{a+b}{2}\right)+c\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}{2}\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}\ge\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{2}\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Ta có 2023m2 + m = 2022n2 + n
<=> n2 = 2023n2 + n - 2023m2 - m
<=> n2 = 2023(n2 - m2) + (n - m)
<=> n2 = (n - m)[2023(n + m) + 1] (*)
Đặt (n - m ; 2023(n + m) + 1) = d (\(d\inℕ^∗\))
=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\2023.\left(n+m\right)+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\\left(n-m\right).\left[2023.\left(n+m\right)+1\right]⋮d^2\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n^2⋮d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n⋮d\\m⋮d\end{matrix}\right.\) (1)
Lại có 2023(n + m) + 1 \(⋮d\) (2)
Từ (1) và (2) => d = 1
=> (n - m ; 2023(n + m) + 1) = 1 (3)
Từ (*) và (3) => 2023(n + m) + 1 là số chính phương
