a/

Ta có

IA=IC (gt)

IH=IE (gt)

=> AHCE là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

\(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHC}=90^o\)

=> AHCE là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

b/

Xét tg AHC có

MH=MC (gt)

IA=IC (gt)

=> G là trong tâm của tg AHC \(\Rightarrow HG=2IG\) (1)

\(\Rightarrow HG+IG=IH=3IG\) (2)

Chứng minh tương tự ta có K là trọng tâm của tg ACE 

\(\Rightarrow KE=2IK\left(3\right)\Rightarrow KE+IK=IE=3IK\) (4)

Mà IH=IE (gt) (5)

Từ (2) (4) (5) => IG=IK (6)

Từ (1) (3) (6) => HG=KE

Mà IG=IK => IG+IKGK=2IK=KE

=> HG=GK=KE

a/

DE//AB=> DE//AF

DF//AC=>DF//AE

=> AEDF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Hình bình hành AEDF có \(\widehat{A}=90^o\) => AEDF là hình chữ nhật

b/

DE//AB

DB=DC (1)

=> FA=FC (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại (2)

Từ (1) và (2) => DE là đường trung bình của ABC

\(\Rightarrow DE=\dfrac{BC}{2}=FB=FC\) (3)

DE//AB=> DE//FB (4)

Từ (3) và (4) => BFED là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

a) Do DE // AB (gt)

\(AC\perp AB\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

\(\Rightarrow DE\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{DEA}=90^0\)

Do DF // AC (gt)

\(AB\perp AC\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

\(\Rightarrow DF\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{DFA}=90^0\)

Tứ giác AEDF có:

\(\widehat{EAF}=\widehat{DEA}=\widehat{DFA}=90^0\)

\(\Rightarrow AEDF\) là hình chữ nhật

b) Do D là trung điểm BC (gt)

DF // AB (gt)

\(\Rightarrow F\) là trung điểm của AB

\(\Rightarrow FA=FB\)

Do AEDF là hình bình hành

\(\Rightarrow DE=AF\)

\(\Rightarrow DE=FB\)

Lại có:

DE // AB

\(\Rightarrow\) DE // FB

Tứ giác BFED có:

DE // FB (cmt)

DE = FB (cmt)

\(\Rightarrow BFED\) là hình bình hành

a) \(P=3\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)-100\)

\(P=3\left(x+y\right)^2-2.5-100\)

\(P=3.5^2-110\)

\(P=-35\)

b) \(Q=\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]-2\left(x^2+2xy+y^2\right)+3.5+10\)

\(Q=\left(x+y\right)^3-2\left(x+y\right)^2+25\)

\(Q=5^3-2.5^2+25\)

\(Q=100\)

\(A=\dfrac{2024}{x^2-2x+8}\)

Ta có :

\(x^2-2x+8=x^2-2x+1+7=\left(x-1\right)^2+7\ge7,\forall x\inℝ\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2-2x+8}\le\dfrac{1}{7}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{2024}{x^2-2x+8}\le\dfrac{2024}{7}\)

\(\Rightarrow Max\left(A\right)=\dfrac{2024}{7}\left(tạix=1\right)\)

a) \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{9}=\dfrac{x^2-y^2}{4-9}=\dfrac{-16}{-5}=\dfrac{16}{5}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4.\dfrac{16}{5}\\y^2=9.\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\left(2.\dfrac{4}{\sqrt[]{5}}\right)=\pm\dfrac{8\sqrt[]{5}}{5}\\y=\pm\left(3.\dfrac{4}{\sqrt[]{5}}\right)=\pm\dfrac{12\sqrt[]{5}}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow z=\dfrac{5}{4}y=\dfrac{5}{4}.\left(\pm\dfrac{12\sqrt[]{5}}{5}\right)=\pm3\sqrt[]{5}\)

b) \(\left|2x+3\right|=x+2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+3=x+2\\2x+3=-x-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\3x=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\3x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Đính chính

Dòng cuối \(3x=-\dfrac{5}{3}\rightarrow x=-\dfrac{5}{3}\)

\(y^2+xy+x+2y+1\)

\(=y^2+2y+1+xy+x\)

\(=\left(y+1\right)^2+x\left(y+1\right)\)

\(=\left(y+1\right)\left(y+1+x\right)\)

(y + 1)(y + 1 + x)

giup voi

ua