\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2+4=3y-5x+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y-1\right)}\left(1\right)\\\frac{3xy-5y-6x+11}{\sqrt{x^3+1}}=5\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:x>-1;y\ge1\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=u,\sqrt{y-1}=v\left(u>0,v\ge0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=u^2-1\\y=v^2+1\end{cases}}\)

Khi đó, phương trình (1) trở thành: \(\left(u^2-v^2-2\right)^2+4=3\left(v^2+1\right)-5\left(u^2-1\right)+2uv\)

\(\Leftrightarrow\left(u^2-v^2-2\right)^2+4-3v^2+5u^2-8-2uv=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u^2-v^2-2\right)^2+4\left(u^2-v^2-2\right)+4+u^2+v^2-2uv=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u^2-v^2\right)^2+\left(u-v\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left(u-v\right)^2\left[\left(u+v\right)^2+1\right]=0\)

Dễ thấy \(\left(u+v\right)^2+1>0\)nên \(\left(u-v\right)^2=0\Leftrightarrow u=v\)

hay \(\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}\Leftrightarrow x+1=y-1\Leftrightarrow y=x+2\)

Từ (2) suy ra \(3xy-5y-6x+11=5\sqrt{x^3+1}\)(3)

Thay y = x + 2 vào (3), ta được: \(3x\left(x+2\right)-5\left(x+2\right)-6x+11=5\sqrt{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow3x^2+6x-5x-10-6x+11=5\sqrt{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-5x+1=5\sqrt{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-x+1\right)-2\left(x+1\right)-5\sqrt{x+1}\sqrt{x^2-x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x^2-x+1}-2\sqrt{x+1}\right)=0\)

Dễ thấy \(3\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}>0\forall x>-1\)nên \(\sqrt{x^2-x+1}=2\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+1=4\left(x+1\right)\Leftrightarrow x^2-5x-3=0\)

Giải phương trình trên tìm được hai nghiệm là \(\frac{5\pm\sqrt{37}}{2}\left(TMĐK\right)\)

+) Với \(x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\Rightarrow y=\frac{9+\sqrt{37}}{2}\)

+) Với \(x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\Rightarrow y=\frac{9-\sqrt{37}}{2}\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(\frac{5+\sqrt{37}}{2};\frac{9+\sqrt{37}}{2}\right);\left(\frac{5-\sqrt{37}}{2};\frac{9-\sqrt{37}}{2}\right)\right\}\)

em chịu chị ơi

A B N E P Q C D

gọi AD là tia phân giác \(\widehat{BAN}\) 

\(\Delta BAN\)cân tại A có AD là tia phân giác nên cũng là đường trung tuyến \(\Rightarrow BD=DN\)

Mặt khác : BP = PC

Xét \(\Delta BNC\)có BD = DN ; BP = PC nên DP là đường trung bình

\(\Rightarrow DP//NC\)và \(DP=\frac{1}{2}NC\)

Mà AN = EC hay AE + EN = EN + NC \(\Rightarrow AE=NC\)

\(\Rightarrow DP=\frac{1}{2}AE\)hay \(DP=AQ\)( do AQ = QE )  ( 1 )

Ta có : \(DP//NC\)hay \(DP//AQ\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AQPD là hình bình hành \(\Rightarrow PQ//AD\)

R A B D C O Q

Ta có : \(\widehat{ACB}=\widehat{CAQ}+\widehat{CQA}\Rightarrow\widehat{CQA}=\widehat{ACB}-\widehat{CAQ}\)

Mà \(\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\); \(\widehat{CAQ}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\)( do AQ là tiêp tuyến của ( O ) )

BD = AB \(\Rightarrow sđ\widebat{AB}=sđ\widebat{BD}\)

Ta có : \(\widehat{ACB}-\widehat{CAQ}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}-\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}-\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}=\widehat{CRA}\)

Suy ra : \(\widehat{CRA}=\widehat{AQC}\) \(\Rightarrow\)tứ giác ARQC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{QRC}=\widehat{QAC}\) 

Mà \(_{\widehat{QAC}=\widehat{ADC}}\)\(\Rightarrow\widehat{QRC}=\widehat{ADC}\)

\(\Rightarrow QR//AD\)