Áp dụng bđt bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(\left[\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\right].\left[\left(\sqrt{1-x}\right)^2+\left(\sqrt{x}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}.\sqrt{1-x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\cdot\sqrt{x}\right)^2\)

=>\(\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)\left(1-x+x\right)\ge\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2\)

=>\(A\ge3+2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{\frac{2}{1-x}}{1-x}=\frac{\frac{1}{x}}{x}\Leftrightarrow\frac{2}{\left(1-x\right)^2}=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow2x^2=\left(1-x\right)^2\)

<=>\(x\sqrt{2}=1-x\left(0< x< 1\right)\Leftrightarrow x\left(\sqrt{2}+1\right)=1\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-1\)

A=1/x2/(1-x)

=(1/x-1)+[2/(1-x)-2]+3

=(1-x)/x+2x/(1-x)+3

>=2√2+3(áp dụng BĐT Cô si)

Dấu bằng xảy ra khi x=√2-1 BĐT

Hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+xy+xz=48\left(1\right)\\4xy+4y^2+4yz=48\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+xy+xz-4xy-4y^2-4yz=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3xy-4y^2+xz-4yz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4y\right)\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4y\\x+y+z=0\end{cases}}\)

Với x+y+z=0

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)=48\Leftrightarrow0x=48\)(vô lí)

=> x=4y

Đến đây đơn giản rồi nhé

Ta có:
P=\(\left(X^2+y^2+z^2+2xyz\right)-\left(X^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\) xz)
  = 1-\(\left(x^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\)
=> P \(\le\)1
Vậy MaxP=1 

lm bừa == e thử sức thoi :))

\(\hept{\begin{cases}2x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}\\\sqrt{2}x-3y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}-\sqrt{3}+\sqrt{3}y=2x\\\sqrt{2}x-\sqrt{2}=3y\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}-\sqrt{3}+\sqrt{3}y=2x\\3\sqrt{2}x-3\sqrt{2}=y\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}-\sqrt{3}+\sqrt{3}y=2x\\1=y\end{cases}}\)== y là bừa đó :(( 

\(\hept{\begin{cases}-\sqrt{3}+\sqrt{3}.1=2x\\y=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}0=2x\\y=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

Vậy pt có nghiệm là (x;y) = (0;1) 

Nhẩm lại thấy kết quả sai bn ak

Ta sẽ chứng minh:\(P\le\frac{5}{8}\Leftrightarrow5-8P=5+8abc-8\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

Ta có: \(5-8P=\frac{4ab\left[4\left(a+2bc-b-c\right)^2+\left(2c-1\right)^2\right]+c\left(2b-1\right)^2\left[4\left(a+b-c\right)^2+1\right]}{4ab+c\left(2b-1\right)^2}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a - 1; 2b - 1; 2c - 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu

Giả sử \(\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\ge0\Leftrightarrow4ab-2a-2b+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow4abc\ge2ac+2bc-c\Leftrightarrow2abc\ge ac+bc-\frac{c}{2}\)

 Khi đó thì\(P=ab+bc+ca-2abc+abc\)\(\le ab+bc+ca-ac-bc+\frac{c}{2}+abc=ab+abc+\frac{c}{2}\)

\(\le\frac{a^2+b^2}{2}+abc+\frac{c}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2+2abc}{2}-\frac{1}{2}\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)\)\(+\frac{1}{8}\)

\(=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{5}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)