thiếu đề nx kìa :v

a) x² - 12x + 33

= ( x² - 12x + 36 ) - 3

= ( x - 6 )² - 3 ≥ -3 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 6 = 0 => x = 6

Vậy GTNN của biểu thức = -3 <=> x = 6 

b) 9x² - 6x + 5

= ( 9x² - 6x + 1 ) + 4

= ( 3x - 1 )² + 4 ≥ 4 ∀ x 

Đẳng thức xảy ra <=> 3x - 1 = 0 => x = 1/3

Vậy GTNN cua biểu thức = 4 <=> x = 1/3

c) x² + x + 3

= ( x² + x + 1/4 ) + 11/4

= ( x + 1/2 )² + 11/4 ≥ 11/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1/2 = 0 => x = -1/2

Vậy GTNN của biểu thức = 11/4 <=> x = -1/2

Đây là 1 bài toán cực nổi tiếng lun.

Liên quan tới 1 giả thiết của Fermat cho rằng \(2^{2^n}+1\)Là các số nguyên tố

Tuy nhiên khi xét tới n=5 tức là \(2^{2^5}+1=2^{32}+1\)thì lại sai

Vì \(\frac{2^{32}+1}{641}=6700417\)Tức là chia hết cho 641

Vậy kết quả cuối cùng là ko phải số nguyên tố nha ! :))

Đây là một bài toán hay áp dụng phương pháp phân tử ,  lời giải như sau

Xét \(M=x^{32}-x^{24}+2x^{23}+x^{18}-2x^{17}-x^{10}+2x^9+1\)Phân tích M thành nhân tử ta được 

\(M=\left(x^9+x^7+1\right)\cdot\left(x^{23}-x^{21}+x^{19}-x^{17}+x^{14}-x^{10}+x^9-x^7+1\right)\)(Phần phân tích các bạn tự làm nhé )

Suy ra nếu \(x\in Z\)thì M chia hết cho \(x^9+x^7+1\)

Với x=2 thì \(M=2^{32}-2^{24}+2\cdot2^{23}+2^{18}-2\cdot2^{17}-2^{10}+2\cdot2^9+1=2^{32}+1\)Mặt khác do 2 nguyên nên M chia hết cho \(2^9+2^7+1=641\)Suy ra M là hợp số 

      Vậy \(2^{32}+1\)không là số nguyên tố  

\(A=2^{32}+1\)

Giả sử 3⁵⁰+ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp thật.

Gọi số nhỏ hơn là a

Theo đề: \(a\left(a+1\right)=3^{50}+1\Leftrightarrow a^2+a-\left(3^{50}+1\right)=0\)(1)

Phương trình (1) có nghiệm tự nhiên thì  \(\sqrt{\Delta}\)phải là số tự nhiên

---> Khi và chỉ khi \(\Delta\)là số chính phương

Chú ý rằng: Số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k+1, k là số tự nhiên

Chứng minh: Với số chia 3 dư 1: \(\left(3n+1\right)^2=9n^2+6n+1=3\left(3n^2+2n\right)+1=3k+1\)

Với số chia 3 dư 2: \(\left(3n+2\right)^2=9n^2+12n+4=3\left(3n^2+4n+1\right)+1=3k+1\)

Với số chia hết cho 3 thì rõ ràng bình lên mang dạng 3k rồi ha.

Xét \(\Delta=1+4\left(3^{50}+1\right)=4.3^{50}+5=3\left(4.3^{49}+1\right)+2=3k+2\)

Vậy \(\Delta\)không là số chính phương (hay có thể khẳng định\(\sqrt{\Delta}\) là vô tỉ lun)

Nên các nghiệm của phương trình (1) không là sô tự nhiên

---> Kết luận: bla bla bla bla bla......

x( x - 1 ) + 2x - 2 = 0

<=> x( x - 1 ) + 2( x - 1 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x + 2 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

x + x² - x³ - x⁴ = 0

<=> ( x + x² ) - ( x³ - x⁴ ) = 0

<=> x( x + 1 ) - x³( x + 1 ) = 0

<=> ( x + 1 )( x - x³ ) = 0

<=> ( x + 1 )x( 1 - x² ) = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x+1=0\\x=0\\1-x^2=0\end{cases}}\)( thay bằng dấu hoặc hộ mình nhé '-' )

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm1\end{cases}}\)

a) \(x\left(x-1\right)+2x-2=0\)

\(x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-1=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=1\end{cases}}}\)

b) \(x+x^2-x^3-x^4=0\)

\(x\left(x+1\right)-x^3\left(x+1\right)=0\)

\(x\left(x+1\right)\left(1-x^2\right)=0\)

\(x\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(x\left(x+1^2\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}x=0\\x+1^2=0\\x-1=0\end{cases}\hept{\begin{cases}x=0\\x=-1\\x=1\end{cases}}}\)

1) x² + 2xy + y² + 2x + 2y - 15

= ( x² + 2xy + y² + 2x + 2y + 1 ) - 16

= [ ( x² + 2xy + y² ) + 2( x + y ) + 1² ] - 4²

= [ ( x + y )² + 2( x + y ) + 1² ] - 4²

= ( x + y + 1 )² - 4²

= ( x + y + 1 - 4 )( x + y + 1 + 4 )

= ( x + y - 3 )( x + y + 5 )

2) x⁴ - x³ + x² - 1 

= ( x⁴ - x³ ) + ( x² - 1 )

= x³( x - 1 ) + ( x - 1 )( x + 1 )

= ( x - 1 )[ x³ + ( x + 1 ) ]

= ( x - 1 )( x³ + x + 1 )

1) x³ - 4x² - 8x + 8 

Thử với x = -2 ta có : (-2)³ - 4.(-2)² - 8.(-2) + 8 = 0

Vậy -2 là nghiệm của đa thức . Theo hệ quả của định lí Bézout thì đa thức trên chia hết cho x + 2

Thực hiện phép chia x³ - 4x² - 8x + 8 cho x + 2 ta được x² - 6x + 4

=> x³ - 4x² - 8x + 8 = ( x + 2 )( x² - 6x + 4 )

2) 3x² + 13x - 10

= 3x² + 15x - 2x - 10

= 3x( x + 5 ) - 2( x + 5 )

= ( x + 5 )( 3x - 2 )

3) x( 2x - 7 ) - 7 - 4x + 14 = 0

<=> 2x² - 7x - 4x + 7 = 0

<=> 2x² - 11x + 7 = 0

<=> 2( x² - 11/2x + 121/16 ) - 65/8 = 0

<=> 2( x - 11/4 )² = 65/8

<=> ( x - 11/4 )² = 65/16

<=> ( x - 11/4 )² = \(\left(\pm\sqrt{\frac{65}{16}}\right)^2=\left(\pm\frac{\sqrt{65}}{4}\right)^2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4}\\x-\frac{11}{4}=\frac{-\sqrt{65}}{4}\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{11+\sqrt{65}}{4}\\x=\frac{11-\sqrt{65}}{4}\end{cases}}\)

4) 2x³ + 3x² + 2x + 2 = 0 ( chịu không làm được ((: )

\(=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)...\left(-\frac{2017}{2018}\right)\)

Tích trên là tích của các thừa số âm và có (2018-2)+1=2017 thừa số nên có kq âm

\(=-\frac{1}{2018}\)

\(\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)\left(\frac{1}{4}-1\right)...\left(\frac{1}{2018}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{2016}{2017}.\frac{2017}{2018}\)

\(=\frac{1}{2018}\)

Tự vẽ hình:)

Kẻ \(AH,CK\perp d\) 

Xét \(\Delta vgAHB\)và \(\Delta vgCKB\)có

\(BC=BA\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CBK}\left(đ^2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta CKB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow CK=AH=2cm\)

Điểm C cách đg thg d 1 khoảng 2cm=>C di chuyển trên đg thg m // d và cách d 1 khoảng =2cm