ĐK: \(-x^2+x+1\ge0\) (xấu quá em hok dám giải đâu:v)

PT \(\Leftrightarrow4x^2-4x+3\left(1-\sqrt{x-x^2+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x\left(x-1\right)+3.\frac{x\left(x-1\right)}{1+\sqrt{x-x^2+1}}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(4+\frac{3}{1+\sqrt{x-x^2+1}}\right)=0\)

Cái ngoặc to hiển nhiên vô nghiệm.

Do đó x = 0 (TM) hoặc x = 1 (TM)

Vậy....

P.s: đúng ko ta mà sao em thấy đơn giản quá, thường liên hợp kiểu này cái ngoặc to xấu xí lắm mà sao lần này nó dễ..

bạn làm đúng rồi nha

Ôi zời:(

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)

Mặt khác ta có đẳng thức: \(a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (khai triển cái vế phải ra sẽ thấy nó bằng nhau).

Do đó \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)(đpcm)

Đúng ko ta?:3

bài này max ping phải là \(\ge\frac{a+b+c}{3}\) chứ nhỉ :) 

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)-\left(a-b\right)^2}\ge\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)}\)

\(=\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\frac{2}{3}\left(a-\frac{ab^2}{2ab}\right)=\frac{2}{3}\left(a-\frac{b}{2}\right)\)

tương tự cộng lại ta có: \(\frac{2}{3}\left(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c 

Ta có 

\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)+a^2+b^2+3\ge\left(a+b\right)^2+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+3=\frac{3}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2\right]\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{2}\left[\left(a+b\right)^2.c^2+4+2\left(a+b\right)^2+2c^2\right]\)

           \(\ge\frac{3}{2}\left[4\left(a+b\right)c+2\left(a+b\right)^2+2c^2\right]=VP\)

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra khi 

\(a=b=c=\frac{\pm1}{\sqrt{2}}\)

Đề PBC 2015-2016 nè

\(0< a,b,c< 1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ab< a;a^2< a\\bc< b;b^2< b\\ca< c;c^2< c\end{cases}}\)

\(a\ge b\ge c\)

\(\frac{1}{3}\le a< 1\Rightarrow\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)

aaaaaaaa bỏ mấy đoạn trên đi nha >_< vẽ bùa đó, lấy mỗi đoạn dưới thôi 

ĐK:..........

Bình phương 2 vế ta được

\(2-3x+2\sqrt{\left(1-2x\right)\left(1-x\right)}=x+4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(1-2x\right)\left(1-x\right)}=4x+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-2x\right)\left(1-x\right)}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2x\right)\left(1-x\right)=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow1-3x+2x^2=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+7x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{-7}{2}\end{cases}}\)

Vậy.........................................