Cho đường tròn \(\left(O\right)\) và điểm \(A\) bên ngoài đường tròn, từ \(A\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Kẻ đường kính \(BC\) của đường tròn \(\left(O\right)\). \(AC\) cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(D\) (\(D\) khác \(C\)).
\(a\)) Chứng minh \(BD\) vuông góc \(AC\) và \(AB^2=AD\cdot AC\).
\(b\)) Từ \(C\) vẽ dây \(CE//OA,BE\) cắt \(OA\) tại \(H\). Chứng minh \(H\) là trung điểm \(BE\) và \(AE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\).
\(c\)) Tia \(OA\) cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(F\). Chứng minh \(FA\cdot CH=HF\cdot CA\).

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left(O;R\right)\), kẻ các tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn \(\left(O\right)\) ở \(E\) (\(E\) khác \(D\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\).
\(a\)) Chứng minh \(4\) điểm \(A,B,O,C\) cùng thuộc một đường tròn và \(AO\perp BC\) tại \(H\).
\(b\)) Chứng minh \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\).
\(c\)) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HA\). Chứng minh tam giác \(AIB\) đồng dạng với tam giác \(BHD\).

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 

ai nhanh nhất và đúng nhất sẽ cho tic đúng

Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN. Chứng minh rằng:

  a) Bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.

  b) OI.OH = R².

  c) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Vẽ hình giúp em luôn ạ. 

 Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O;R) sao cho AC > BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc AB), kéo dài CH cắt (O;R) tại điểm D (D = C). Tiếp tuyến tại điểm A và tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại điểm M. Gọi I là giao điểm của OM và AC. a) Chứng minh bốn điểm M,A,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính OM b) Hai đường thẳng MC và AB cắt nhau tại F. Chứng minh BC = 2.IO và DF là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh AF.BH = BF.AH.