cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB .Gọi M là điểm chính giữa cung AB , E là điểm trên cung AM ( E khác A và M) . Lấy điểm F trên đoạn BE sao cho BF = AE Gọi K là giao điểm MO và BE
a) CM : EAOK là tứ giác nồi tiếp
b) CM : ΔEMF vuông cân
c) 2 đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D . CM rằng MK.ED = MD.EK
Lời giải:
a.
Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AB$ nên $OM\perp AB$
$\Rightarrow \widehat{KOA}=\widehat{MOA}=90^0$
Lại có: $\widehat{AEK}=\widehat{AEB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác $EAOK$ có tổng hai góc đối nhau $\widehat{KOA}+\widehat{AEK}=90^0+90^0=180^0$
$\Rightarrow EAOK$ là tgnt.
b.
Xét tam giác $EAM$ và $FBM$ có:
$AM=BM$ (do $M$ nằm chính giữa cung AB)
$EA=FB$
$\widehat{EAM}=\widehat{EBM}=\widehat{FBM}$ (góc nt chắn cung $EM$)
$\Rightarrow \triangle EAM=\triangle FBM$ (c.g.c)
$\Rightarrow EM=FM(1)$
Và $\widehat{EMA}=\widehat{FMB}$
$\Rightarrow \widehat{EMA}+\widehat{MAF}=\widehat{FMB}+\widehat{MAF}=\widehat{AMB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{EMF}=90^0(2)$
Từ $(1); (2)$ suy ra $EMF$ là tam giác vuông cân tại $M$
c.
Vì $EMF$ vuông cân tại $M$ nên $\widehat{MEK}=45^0$
$\widehat{DEM}=180^0-\widehat{AEB}-\widehat{MEK}=180^0-90^0-45^0=45^0$
$\Rightarrow \widehat{DEM}=\widehat{MEK}$
$\Rightarrow EM$ là phân giác trong của $\widehat{DEK}$
$\Rightarrow \frac{MK}{MD}=\frac{EK}{ED}$
$\Rightarrow MK.ED=EK.MD$ (đpcm)
Hình vẽ: