Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho MAN = 450 . Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuông góc với MN.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
21 tháng 2 2023
Gọi số giờ vòi 1 chảy riêng đầy bể là x. vòi 2 là y
Theo bài ra ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1:\dfrac{24}{5}\end{matrix}\right.\)
Thay \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{3}{2y}\) vào \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1:\dfrac{24}{5}\) ta có :
\(\dfrac{3}{2y}\) + \(\dfrac{1}{y}\) = \(\dfrac{5}{24}\) ⇒ \(\dfrac{1}{y}\).( \(\dfrac{3}{2}+1\)) = \(\dfrac{5}{24}\) ⇒ y = \(\dfrac{5}{24}\): ( \(\dfrac{3}{2}\)+1)
⇒ \(\dfrac{1}{y}\) = \(\dfrac{1}{12}\) ⇒ y = 12 ; x = 1 : \(\dfrac{3}{2.12}\) ⇒ x = 8
Vậy vòi 1 chảy một mình đầy bể sau 8 giờ
vòi 2 chảy một mình đầu bể sau 12 giờ.
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
21 tháng 2 2023
Với m = 2 ta có :
x2 - 2( 2+1) x + 4 + 4 =0
x2 - 6x + 8 = 0
Δ' = 9 - 8 = 1
x1 = (3 + \(\sqrt{1}\)) : 1 = 4
x2 = (3 - \(\sqrt[]{1}\)) : 1 = 2
x \(\in\) { 2; 4}
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì
Δ' > 0 ⇔ (m+1)2 - (m2+4) >0
⇒ m2 + 2m + 1 - m2 - 4 > 0
2m - 3 > 0
m > 3/2
vậy với m > 3/2 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt
21 tháng 2 2023
a) \(3x^2-6x=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\left(3\cdot0\right)}}{2\cdot3}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36}}{6}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6+6}{6}\\x=\dfrac{6-6}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)
b) \(x^2-4=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\left(1\cdot0\right)}}{2\cdot1}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1}}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+1}{2}\\x=\dfrac{-1-1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
c) \(x^2+6x-7=0\)
\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-7\right)}}{2\cdot1}\)
\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-\left(-28\right)}}{2}\)
\(x=\dfrac{-6\pm8}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-6+8}{2}\\x=\dfrac{-6-8}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-7\end{matrix}\right.\)
2)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2x=\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=3+1=4\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4:2\\y=\left(x+y\right)-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
XO
21 tháng 2 2023
A = \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)
<=> 2A = \(2\left(x^2+y^2\right)+2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+8\)
Ta có \(2\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)(Bất đẳng thức Bunyakovsky) (1)
Áp dụng tương tự ta có
\(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)=\left(1^2+1^2\right).\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\) (BĐT Bunyakovsky)
\(\ge\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=16\) (BĐT Schwarz) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(2A\ge1+16+8=25\Leftrightarrow A\ge\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\\x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)