1

\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le a\cdot\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2}{2}+1\)

Tương tự ta có:\(P\le3+\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)

Giả sử b nằm giữa a và c

Ta có:

\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2-bc-ab+ac\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+a^2c\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)

\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)

Ta chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\) dể chứng minh

Khi đó:\(P\le3+\frac{4}{2}=5\)

Dấu "=" xảy ra tại a=0;b=1;c=2 và các hoán vị

2

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)

\(\Rightarrow a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\(xyz\le\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8}\) ( đúng theo bđt cô si )

P/S:a,b,c không là độ dài 3 cạnh tam giác vẫn đúng theo BĐT Schur

Bài 1: em làm không đúng rồi và cô không hiểu ý tưởng làm bài của em nhưng có mấy lỗi cơ bản: 

Sai dòng thứ nhất \(\frac{ab^2}{2}+a\)

Dấu bằng xảy ra cũng sai. Dòng thứ 6 em nhân cả hai vế cho a mà dấu bằng a = 0 . vô lí

Dòng thứ 5 ( b - a ) ( b  - c ) <= 0 thì dấu bằng xảy ra a = b hoặc b = c chứ 

Dòng thứ 8 => sau đó làm thế nào. 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+1\right)x-y=3\\y=a-ax\end{cases}}\)

Thay y=a-ax vào pt đầu,ta có

\(\left(a+1\right)x-a+ax=3\)

\(\Leftrightarrow ax+x-a+ax=3\)

\(\Leftrightarrow\)2ax+x=a+3

\(\Leftrightarrow\)x(2a+1)=a+3

Dể hpt có nghiệm duy nhất thì 2a+1\(\ne\)0

\(\Leftrightarrow\)a\(\ne\)\(\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(x=\frac{a+3}{2a+1}\)

Mà y=a-ax

\(\Rightarrow y=\frac{a^2-2a}{2a+1}\)

Để x+y>0 thì\(\frac{a+3}{2a+1}+\frac{a^2-2a}{2a+1}=\frac{a^2-a+3}{2a+1}=\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}}{2a+1}\)

Vì tử số >0 nên để x+y>0 thì 2a+1>0

\(\Rightarrow a>-\frac{1}{2}\left(tm\right)\)

Vậy để hpt có nghiệm duy nhất tm x+y>0 thì a>\(-\frac{1}{2}\)

\(ĐK:x\ge-1\)

\(PT\Leftrightarrow5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x^2+2\right)\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}=a\\\sqrt{x^2-x+1}=b\end{cases}}\)\(\left(a,b\ge0\right)\)

\(PT\Leftrightarrow5ab=2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)=0\)

Đến đây dễ rồi nhé :P

Đúng nhưng đoạn cuối là (2a-b)(a-2b)=0 mà.

Cũng cảm ơn

\(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}+2\sqrt{x^2-4}=2\left(3-x\right)\)(đkxđ: \(x\ge2\) )

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=-2\left(x-2\right)+2\)(1)

Đặt \(a=\sqrt{x+2};b=\sqrt{x-2}\)\(\left(a,b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow a+b+2ab=-2b^2+2\)

\(\Leftrightarrow2b^2+b+a+2ab-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2b+1\right)-2=0\)(2)

Mặt khác ta có:

\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow a\left(2b+1\right)=-2b^2-b+2\Leftrightarrow a=\frac{-2b^2-b+2}{2b+1}=-1+\frac{2}{2b+1}\)

Thay \(a=-1+\frac{2}{2b+1}\)vào (2) ta đươc:

\(\left(-1+\frac{2}{2b+1}+b\right)\left(2b+1\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow-2b-1+\frac{2\left(2b+1\right)}{2b+1}+2b^2+b-2=0\)

\(\Leftrightarrow2b^2-b-1=0\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(2b+1\right)=0\)mà \(b\ge0\Rightarrow2b+1>0\)

\(\Rightarrow b-1=0\Rightarrow b=1\)\(\Rightarrow a=-1+\frac{2}{2+1}=-\frac{1}{3}\)(Vô lí vì \(a\ge0\))

Vậy phương trình vô nghiệm

Hok tốt!!