Tìm cặp số nguyên dương (x,y ) nhỏ nhất thỏa mãn điều kiên :
\(4\left(y^2-3\right)^2+\left(x+1\right)^3=334043\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{15-2x}=13\)
bình phương hai vế, ta có
\(15-2x=169\)
\(-2x=169-15\)
\(-2x=154\)
\(x=154:\left(-2\right)=-77\)
=>15-2x=13^2
=>15-2x=169
=>2x=15-169
=>2x=-154
=>x=-77
( a + b ) ( a + c ) = 8 hay a2 + ab + ac + bc = 8
\(\Rightarrow\)a ( a + b + c ) + bc = 8
\(\sqrt{abc\left(a+b+c\right)}=\sqrt{a\left(a+b+c\right).bc}\le\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{2}=4\)
\(\Rightarrow abc\left(a+b+c\right)\le16\)
Vậy GTLN của A là 16
vì abcd,ab,ac là số nguyên tố nên là số lẻ hay b,c,d lẻ và khác 5. Ta có :
b2 = cd + b - c \(\Rightarrow\)b ( b - 1 ) = cd - c = 10c + d - c = 9c + d \(\ge\)10
\(\Rightarrow\)b \(\ge\)4 \(\Rightarrow\) b = 7 hoặc b = 9
+) b = 7 ta có : 9c + d = 42 \(\Rightarrow\)d \(⋮\)3 \(\Rightarrow\)d = 3 hoặc d = 9
Nếu d = 3 thì c = \(\frac{39}{9}\)( loại )
Nếu d = 9 thì c = \(\frac{33}{9}\)( loại )
+) b = 9 thì 9c + d = 72 \(\Rightarrow\)d = 9 ; c = 7
Mà a7 và a9 là số nguyên tố thì a = 1
Vậy abcd = 1979
cách max dài và hại não
cần C/m : \(\Sigma\sqrt{a^2-a+1}\ge\Sigma a\) \(\Leftrightarrow3+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\ge2\Sigma ab+\Sigma a\)( * )
Ta có \(\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)=\left(\frac{3}{4}\left(a-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+1\right)^2\right)\left(\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(b+1\right)^2\right)\)
\(\ge\frac{3}{4}\left|a-1\right|\left|b-1\right|+\frac{1}{4}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)( BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
\(\ge\frac{3}{4}\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{1}{4}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{-1}{2}ab+a+b-\frac{1}{2}\)
Do đó : VT ( * ) \(\ge4\Sigma a-\Sigma ab\). BĐT đúng nếu : \(\Sigma a\ge\Sigma ab\)
Điều này đúng khi trong a,b,c có 1 số \(\le\)1 và 1 số khác \(\ge\)1
Ta xét trong a,b,c có 2 số \(\ge\)1 , giả sử là b và c . Khi đó BĐT đã cho trở thành :
\(\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b}+\frac{1-c}{\sqrt{c^2-c+1}+c}\ge0\)( ** )
b,c \(\ge\)1 \(\Rightarrow1-b,1-c\le0\)
Ta có : \(\sqrt{b^2-b+1}\ge\frac{b+1}{2}\)và \(\sqrt{c^2-c+1}\ge\frac{c+1}{2}\)
Do đó : VT ( ** ) \(\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{2\left(1-b\right)}{3b+1}+\frac{2\left(1-c\right)}{3c+1}\)
\(=\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{8}{3}\left(\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right)-\frac{4}{3}\)
bổ đề \(\sqrt{bc}\ge1\)thì \(\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\ge\frac{2}{3\sqrt{bc}+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(9\sqrt{bc}-1\right)\ge0\)
vì vậy : VT (**) \(\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{16}{3\left(3\sqrt{bc}+1\right)}-\frac{4}{3}\)
\(=\sqrt{a^2-a+1}-a+\frac{16\sqrt{a}}{3\left(3+\sqrt{a}\right)}-\frac{4}{3}\)
đặt \(\sqrt{a}=t\le1\), cần chứng minh : \(\sqrt{t^4-t^2+1}-t^2+\frac{16t}{3\left(3+t\right)}\ge\frac{4}{3}\)( BĐT đúng nếu t > 0,28 )
Xét \(a\le t^2=0,0784\Rightarrow a\in\left[0;0,0784\right]\)
Lại có : \(\sqrt{b^2-b+1}>b-\frac{1}{2};\sqrt{c^2-c+1}>c-\frac{1}{2}\)
Do đó : \(\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b}+\frac{1-c}{\sqrt{c^2-c+1}+c}\ge\frac{1-b}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{1-c}{2c-\frac{1}{2}}\)
\(\frac{1}{2}\left[\frac{\frac{3}{2}-\left(2b-\frac{1}{2}\right)}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{3}{2}-\left(2c-\frac{1}{2}\right)}{2c-\frac{1}{2}}\right]=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2c-\frac{1}{2}}\right)-1\)
\(\ge\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{bc}}-1}=\frac{3\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}}-1\)
do đó : VT ( ** ) \(\ge\sqrt{t^4-t^2+1}-t^2+\frac{3t}{4-t}-1\)\(\ge0\)
\(\Leftrightarrow3t\left(\frac{1}{4-t}+\frac{t}{\sqrt{t^4-t^2+1}+t^2+1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3t.\frac{\sqrt{t^4-t^2+1}+2t^2-4t+1}{\left(4-t\right)\left(\sqrt{t^4-t^2+1}+t^2+1\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng \(\forall\)t < 0,25 < 0,28
\(\Rightarrow\)đpcm
P/s : bài này mình tham khảo nha. cách rất dài, khó