\(a,M=6+\frac{2x}{x^2+1}\)

ÁP dụng bđt AM-GM ta có

\(M\le6+\frac{2x}{2x}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi x=1

b,\(A=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)

\(=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)(bđt Cauchy-Schwarz)

mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

lớp mấy bạn

+) CH vuông góc AB; Gọi D là giao của ( B; BC ) và ( A; AC ) => C; H ; D thẳng hàng 

=> C; X ; D thẳng hàng 

+) C; K; D; K1 nội tiếp ( B; BC ) và KK1 cắt CD tại X

=> \(\frac{XK}{XC}=\frac{XD}{XK_1}\Rightarrow XK.XK_1=XC.XD\)(1)

+) Tương tự C; Y; L; L1 nội tiếp (A; AC ) 

=> \(XL.XL_1=XC.XD\)(2)

Từ (1) và (2) => \(XL.XL_1=XK.XK_1\)

=> Dễ chứng minh đc KLK1L1 nội tiếp. ( - _ - )  đúng giờ :)

Xét \(\Delta'=\left(n-1\right)^2+n+5=n^2-n+6=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{23}{4}>0\)

=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi n 

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(n-1\right)\\x_1x_2=-n-5\end{cases}}\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=14\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=14\)

\(\Leftrightarrow4\left(n-1\right)^2+2\left(n+5\right)=14\)

\(\Leftrightarrow4n^2-6n=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Hình khá khó nhìn nhé! Vào thống kê mình xem

Link: https://imgur.com/a/h2NM0ep

Đặt x là giao của AD và BE, Y là giao CF và AD; Z là giao BE và DF

Theo định lí Pascal thì M,X,Q; P,S,Y và R,Z,N là các bộ 3 điểm thẳng hàng

Xét tam giác XED có DF,CE, XQ đồng quy

Theo định lý Ceva có:

\(\frac{\sin\widehat{QXE}}{\sin\widehat{QXD}}\cdot\frac{\sin\widehat{ADF}}{\sin\widehat{EDF}}\cdot\frac{\sin\widehat{CED}}{\sin\widehat{CEB}}=1\)

\(\Rightarrow\frac{\sin\widehat{QXE}}{\sin\widehat{QXD}}=\frac{\sin\widehat{ADF}}{\sin\widehat{EDF}}\cdot\frac{\sin\widehat{CED}}{\sin\widehat{CEB}}=\frac{EF}{AF}\cdot\frac{CB}{CD}\)

Lập các tỉ số tương tự và nhân chúng lại với nhau, áp dụng định lý Ceva lần nữa cho tam giác XYZ ta có: XQ, YS, ZN đồng quy

hay MQ, PS, NR đồng quy (đpcm)

Goi AD giao BE tai X

Theo dinh ly Pascal ta se co MQ,PS,NR dong quy tai X

dpcm

Cuộc sống của bạn dù có khó khăn, thì tôi cũng xin bạn đừng bao giờ đánh mất đi niềm hi vọng. Niềm hy vọng chính là lòng tin và sự lạc quan về một tương lai tốt đẹp cho bản thân. Chính niềm tin và sự lạc quan đó sẽ tiếp thêm cho chúng ta rất nhiều sức mạnh để vượt qua hiện thực khó khăn và khắc nghiệt. Khi chúng ta đánh mất lòng tin, chúng ta mất đi hy vọng về một tương lai tốt đẹp của bản thân. Thì đấy là lúc chúng ta mất đi toàn bộ sức mạnh và nghị lực để sống, để vươn lên trong cuộc sống. Một người lãnh đạo khôn ngoan và tài giỏi phải xây dựng được lòng tin và sự hy vọng cho các nhân viên của mình vào tương lai.
Có một câu danh ngôn rất hay về việc này đó là: Ánh sáng luôn có ở cuối đường hầm! Ngay cả khi hiện thực của bạn đã nhuộm một màu đen. Thì tôi cũng xin bạn đừng bao giờ để mất đi niềm hy vọng trong quả tim của mình. Bạn hãy can đảm, rồi xác định một hướng đi đúng đắn cho bản thân để vượt qua hiện thực tăm tối đó. Rồi ánh sáng mặt trời sẽ hiện ra. Một cuộc sống tươi đẹp đang chờ đợi bạn ở phía trước. Vì không có một con đường hầm nào sẽ kéo dài ra vô tận. Hết buồn thì đến vui, đó là một quy luật muôn đời của loài người. Khi chúng ta có sự tự chủ bản thân, chúng ta có niềm tin vào tương lai, thì chúng ta sẽ có những hành động đúng đắn để biến những niềm hy vọng tốt đẹp của mình trở thành sự thật. Nếu cuộc sống của bạn đang ngập tràn những khó khăn, nguy hiểm. Bạn ngồi im một chỗ mà than khóc, mà cầu xin sự giúp đỡ của Thượng Đế, thì bạn làm sao có thể thoát ra khỏi hoàn cảnh như vậy? Nhưng nếu bạn luôn hy vọng vào một điều tốt đẹp sẽ đến với mình trong những ngày sắp tới. Những ước mơ tốt đẹp của bạn đã sắp trở thành hiện thực. Thì những khó khăn trong hiện tại của bạn sẽ trở nên rất nhỏ bé. Trong cơ thể của bạn sẽ tràn đầy năng lượng, nó sẽ giúp bạn vượt qua mọi khó khăn trước mắt, và bạn sẽ có một tương lai tốt đẹp hơn rất nhiều. Sức mạnh của niềm hy vọng nó lớn đến như thế đấy bạn ạ. Xin bạn đừng bao giờ để mất đi niềm hy vọng trong cuộc sống!

Cuộc sống của bạn dù có khó khăn, thì tôi cũng xin bạn đừng bao giờ đánh mất đi niềm hi vọng. Niềm hy vọng chính là lòng tin và sự lạc quan về một tương lai tốt đẹp cho bản thân. Chính niềm tin và sự lạc quan đó sẽ tiếp thêm cho chúng ta rất nhiều sức mạnh để vượt qua hiện thực khó khăn và khắc nghiệt. Khi chúng ta đánh mất lòng tin, chúng ta mất đihy vọng về một tương lai tốt đẹp của bản thân. Thì đấy là lúc chúng ta mất đi toàn bộ sức mạnh và nghị lực để sống, để vươn lên trong cuộc sống. Một người lãnh đạokhôn ngoan và tài giỏi phải xây dựngđược lòng tin và sự hy vọng cho các nhân viên của mình vào tương lai.Có một câu danh ngôn rất hay về việc này đó là: Ánh sáng luôn có ở cuối đường hầm! Ngay cả khi hiện thực của bạn đã nhuộm một màu đen. Thì tôi cũng xin bạn đừng bao giờ để mất đi niềm hy vọng trong quả tim của mình. Bạn hãy can đảm, rồi xác định một hướng đi đúng đắn cho bản thân để vượt qua hiện thực tăm tối đó. Rồi ánh sáng mặt trời sẽ hiện ra. Một cuộc sống tươi đẹp đang chờ đợi bạn ở phía trước. Vì không có một con đường hầm nào sẽ kéo dài ra vô tận. Hết buồn thì đến vui, đó là một quy luật muôn đời của loài người. Khi chúng ta có sự tự chủ bản thân, chúng ta có niềm tin vào tương lai, thì chúng ta sẽ có những hành động đúng đắn để biến những niềm hy vọng tốt đẹp của mình trở thành sự thật. Nếu cuộc sống của bạn đang ngập tràn những khó khăn, nguy hiểm. Bạn ngồi im một chỗ mà than khóc, mà cầu xin sự giúp đỡ của Thượng Đế, thì bạn làm sao có thể thoát ra khỏi hoàn cảnh như vậy? Nhưng nếu bạn luôn hy vọng vào một điều tốt đẹp sẽ đến với mình trong những ngày sắp tới. Những ước mơ tốt đẹp của bạn đã sắp trở thành hiện thực. Thì những khó khăn trong hiện tại của bạn sẽ trở nên rất nhỏ bé. Trong cơ thể của bạn sẽ tràn đầy năng lượng, nó sẽ giúp bạn vượt qua mọi khó khăn trước mắt, và bạn sẽ có một tương lai tốt đẹp hơn rất nhiều. Sức mạnh của niềm hy vọng nó lớn đến như thế đấy bạn ạ. Xin bạn đừng bao giờ để mất đi niềm hy vọng trong cuộc sống!

mai làm

Chú thích: tđ = trung điểm

tg = tam giác

tt = trung tuyến

Hướng dẫn làm:

Gọi tứ giác ABCD bất kì.

Gọi E là trung điểm AB, F là trung điểm BC, G là trung điểm CD, H là trung điểm DA

Xét tam giác ABC, ta có E tđ AB, F là tđ BC

=> EF là đường trung tuyến tg ABC

=> EF song song AC (1)

Xét tam giác ADC, ta có H tđ AD, G là tđ CD

=> HG là đường trung tuyến tg ADC

=> HG song song AC (2)

(1)(2) => EF song song HG

Xét tam giác ABD, ta có E tđ AB, H là tđ AD

=> EH là đường trung tuyến tg ABD

=> EH song song BD (3)

Xét tam giác DBC, ta có G tđ CD, F là tđ BC

=> GF là đường trung tuyến tg DBC

=>GF song song BD (4)

(3)(4) => EH song song GF

Xét tứ giác EFGH ta có

EF song song HG

EH song song GF

=> tứ giác EFGH là hình bình hành (đpcm)

1/ \(Q=\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}+2\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=2\)

Vậy Min Q là 2 khi x = 2 (đẹp! :v)

P/s: Ngoài ra: \(Q=-\frac{\left(2x+1\right)^2}{x^2+1}+7\le7\)

a, \(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy..............

b, \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{2x}{x-2}\right)^2-2x.\frac{2x}{x-2}=12\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x-2}\right)^2-\frac{4x^2}{x-2}=12\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x-2}-6\right)\left(\frac{x^2}{x-2}+2\right)=0\)

Đến đây đơn giản rồi nhé

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1;y\ne2\end{cases}}\)

pt <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{6}{\left|y-2\right|}=2\\\frac{2-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\frac{3}{3\left|y-2\right|}=-9\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{6}{\left|y-2\right|}=2\\\frac{2}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\left|y-2\right|}=-8\end{cases}}\)

Đặt: \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}=u;\frac{1}{\left|y-2\right|}=v>0\)ta có pt:

\(\hept{\begin{cases}u+6v=2\\2u-v=-8\end{cases}}\)=> tìm u; v sau đó tìm x; y

Đặt \(\left|y-2\right|=u;\sqrt{x}-1=v\)

Hệ trở thành \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{v}+\frac{6}{u}=2\\\frac{2}{v}-u=-8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2}{v}+\frac{12}{u}=4\\\frac{2}{v}-u=-8\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{12}{u}+u=12\Rightarrow\frac{12+u^2}{u}=12\)

\(\Rightarrow u^2-12u+12=0\)

\(\Delta=12^2-4.12=96,\sqrt{\Delta}=4\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u=\frac{12+4\sqrt{6}}{2}=6+2\sqrt{6}\\u=\frac{12-4\sqrt{6}}{2}=6-2\sqrt{6}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left|y-2\right|=6+2\sqrt{6}\\\left|y-2\right|=6-2\sqrt{6}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{8\pm2\sqrt{6};-4\pm2\sqrt{6}\right\}\)

Thay vào hệ tính được x nha, th nào ko đúng loại