Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A = \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)
<=> 2A = \(2\left(x^2+y^2\right)+2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+8\)
Ta có \(2\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)(Bất đẳng thức Bunyakovsky) (1)
Áp dụng tương tự ta có
\(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)=\left(1^2+1^2\right).\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\) (BĐT Bunyakovsky)
\(\ge\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=16\) (BĐT Schwarz) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(2A\ge1+16+8=25\Leftrightarrow A\ge\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\\x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
Gọi thời gian vòi 1,2 chảy đầy bể lần lượt là x , y (x > 12, y > 12)
1 giờ vòi 1 chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể
1 giờ vòi 2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể
=> 1 giờ 2 vòi chảy được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (bể) (1)
Lại có : Khi 2 vòi chảy chung trong 4 giờ và vòi 1 chảy trong 14 giờ
tiếp theo thì đầy bể
nên ta có : \(4.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+14.\dfrac{1}{x}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{7}{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=28\\x=21\end{matrix}\right.\)(t/m)
Vậy vòi 1 chảy đầy bể 1 mình sau 21 giờ
vòi 2 xong trong 28 giờ
a. \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=5\\x+2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=5\\3x+6y=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{4}\\y=\dfrac{7}{8}\end{matrix}\right.\)
b. Đặt a = \(\sqrt{x+1}\); \(b=\sqrt{y-2}\) ta có hệ mới là:
\(\left\{{}\begin{matrix}2a-3b=5\\4a+b=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=4\\\sqrt{y-2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=16\\y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=3\end{matrix}\right.\)
a) \(3x^2-6x=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\left(3\cdot0\right)}}{2\cdot3}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36}}{6}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6+6}{6}\\x=\dfrac{6-6}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)
b) \(x^2-4=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\left(1\cdot0\right)}}{2\cdot1}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1}}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+1}{2}\\x=\dfrac{-1-1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
c) \(x^2+6x-7=0\)
\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-7\right)}}{2\cdot1}\)
\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-\left(-28\right)}}{2}\)
\(x=\dfrac{-6\pm8}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-6+8}{2}\\x=\dfrac{-6-8}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-7\end{matrix}\right.\)
2)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2x=\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=3+1=4\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4:2\\y=\left(x+y\right)-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)