Xét \(n=0\Rightarrow n^3-n=0⋮6\)

\(\forall n\inℕ^∗,n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì (n-1), n, (n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 số chẵn và 1 số chia hết cho 3---> Tích của chúng chia hết cho 6

Vậy mệnh đề đúng.  

Mệnh đề phủ định: \(\exists n\inℕ,n^3-n⋮6\)

E mới c2 nên cg ch am hiểu lắm nên thôi lm đại nhé:))

Ta có: \(x^2+xy+y^2=\left(x^2+xy+\frac{1}{4}y^2\right)+\frac{3}{4}y^2\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge0\left(\forall x,y\right)\)

Vì nếu \(x=y=0\) => \(x^2+xy+y^2=0\)

=> Mệnh đề sai 

Chỉ đúng ở phần không âm

Mệnh đề sau sai 

Vì khi x = 1 thì :

VT = \(\frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}\) ( không có phép chia cho 0 ) 

Phủ định của mệnh đề : 

\(\forall x\in R\backslash\left\{1\right\};\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\)  là mệnh đề đúng 

                                                             Bài giải

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}\)

\(\leftrightarrow\text{ }\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EA}=0\)

\(\leftrightarrow\text{ }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0\)

\(\leftrightarrow\text{ }\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=0\)

\(\leftrightarrow\text{ }\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=0\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrow\text{ ĐPCM}\)

\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AH}\)

 Gọi I là trung điểm AC

Ta có : \(BG=GH=2GI\Rightarrow GI=IH\)

Tứ giác \(AGCH\)có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành 

\(\Rightarrow AH=GC\)

\(2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AH}+2\overrightarrow{GH}+2\overrightarrow{HC}\)

\(=\overrightarrow{AH}+2\overrightarrow{GH}+2\left(\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{AH}+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AH}+2\overrightarrow{AH}=3\overrightarrow{AH}\)

A B C H G I

Mình xin cảm ơn ạ

( x² + 4x + 3 )( x² + 12x + 35 ) = 9

<=> ( x² + x + 3x + 3 )( x² + 5x + 7x + 35 ) = 9

<=> [ x( x + 1 ) + 3( x + 1 ) ][ x( x + 5 ) + 7( x + 5 ) ] = 9

<=> ( x + 1 )( x + 3 )( x + 5 )( x + 7 ) = 9

<=> [ ( x + 1 )( x + 7 ) ][ ( x + 3 )( x + 5 ) ] = 9

<=> ( x² + 8x + 7 )( x² + 8x + 15 ) = 9

<=> ( x² + 8x + 7 )( x² + 8x + 15 ) - 9 = 0

Đặt t = x² + 8x + 7 

Phương trình tương đương với :

t( t + 8 ) - 9 = 0

<=> t² + 8t - 9 = 0

<=> t² - t + 9t - 9 = 0

<=> t( t - 1 ) + 9( t - 1 ) = 0

<=> ( t - 1 )( t + 9 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}t-1=0\\t+9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-9\end{cases}}\)

Với t = 1

=> x² + 8x + 7 = 1

<=> x² + 8x + 7 - 1 = 0 

<=> x² + 8x + 6 = 0 (1)

\(\Delta'=b'^2-ac=4^2-1\cdot6=10\)

\(\Delta'>0\)nên (2) có hai nghiệm phân biệt :

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=-4+\sqrt{10}=\sqrt{10}-4\\x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta'}}{a}=-4-\sqrt{10}=-\sqrt{10}-4\end{cases}}\)

Với t = -9

=> x² + 8x + 7 = -9

<=> x² + 8x + 7 + 9 = 0

<=> x² + 8x + 16 = 0

<=> ( x + 4 )² = 0

<=> x + 4 = 0

<=> x = -4

Vậy S = { \(\pm\sqrt{10}-4;-4\)}

PT <=> \(x^4+16x^3+86x^2+176x+96=0\)

\(\left(x^2+8x+6\right)\left(x+4\right)^2=0\)

TH1 : \(\Delta=8^2-4.6=64-24=40\)

\(x_1=\frac{-8-\sqrt{40}}{2};x_2=\frac{-8+\sqrt{40}}{2}\)

TH2 : \(x=-4\)

Vậy \(\left\{x=-4\right\}\)

\(i=f\left(x\right)=3.\left(2x+4\right)\)

\(\Rightarrow f\left(4\right)=3.\left(2.4+4\right)=3.12=36\)

\(f\left(x\right)=3\times\left(2x+4\right)\)

\(\Rightarrow f\left(4\right)=3\times\left(2\times4+4\right)=36\)