a) Vì \(p\) là snt lớn hơn 3 nên \(p⋮̸3\) \(\Rightarrow p^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(p^2-1⋮3\)

b) Theo câu a), ta có \(p^2\equiv q^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(p^2-q^2⋮3\)

c) Vì \(p,q\) là các snt lớn hơn 3 nên chúng cũng là các snt lẻ \(\Rightarrow p^2\equiv q^2\equiv1\left[8\right]\)

\(\Rightarrow p^2-q^2⋮8\)

 Cho \(p=2,p=3\) ta thấy không thỏa mãn.

 Cho \(p=5\) ta thấy thỏa mãn.

 Xét \(p>5\), khi đó \(p⋮̸5\). Khi đó \(p^2\equiv1,4\left[5\right]\) (tính chất của scp)

 Khi \(p^2\equiv1\left[5\right]\) thì \(p^2+1⋮5\), khi \(p^2\equiv4\left[5\right]\) thì \(p^2+6⋮5\) nên 1 trong 2 số này là hợp số, không thỏa mãn.

 Vậy \(p=5\) là snt duy nhất thỏa mãn ycbt.

    Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề số nguyên tố, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau.

+ Nếu p = 2 ta có: p² + 4 = 2² + 4  = 4 + 4 = 8 (loại)

+ Nếu p = 3 ta có: p² + 6 =  3² + 6 = 9 + 6  =  15 (loại)

+ Nếu p = 5 ta có: p² + 4 = 5² + 4  = 25 + 4  = 29 (thỏa mãn)

                             p² + 6 = 5² + 6 = 25 + 6 = 31 (thỏa mãn)

+ Nếu p > 5 khi đó: p² : 5 dư 1 hoặc 4 (tính chất số chính phương)

TH1 p² :  5 dư 1 ⇒ p² + 4 ⋮ 5 (là hợp số loại)

TH2 p² : 5 dư 4 \(\Rightarrow\) p² + 6 ⋮ 5 (là hợp số loại)

Từ những lập luận trên ta có: 

p = 5 là giá trị số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài 

Kết luận số nguyên tố thỏa mãn đề bài là 5.

Tập xác định \(D=ℝ\backslash\left\{2\right\}\)

TCĐ: \(x=2\)

Có \(\dfrac{x^2-x-1}{x-2}=\dfrac{x^2-x-2+1}{x-2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)+1}{x-2}=\left(x+1\right)+\dfrac{1}{x-2}\)

nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường \(y=x+1\)

Có \(y'=\dfrac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

BBT

a) \(y=\dfrac{x+1}{x-2}\)

\(y'=-\dfrac{3}{\left(x-2\right)^2}< 0\forall x\inℝ\ \left\{2\right\}\)

=> hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)

b) \(y=\dfrac{2x+1}{x-1}\)

\(y'=-\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2}< 0\forall x\inℝ\ \left\{1\right\}\)

=> hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;1\right)\) và \((1;+\infty)\)

64.

d qua \(M\left(-3;1;2\right)\) và có vtcp \(\left(2;4;-1\right)\) nên có pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3+2t\\y=1+4t\\z=2-t\end{matrix}\right.\)

C đúng

65.

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;0;2\right)\) nên C đúng

66.

d qua \(M\left(3;-2;-6\right)\)

67.

mp vuông góc d nên nhận \(\left(1;2;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(1\left(x-3\right)+2\left(y+2\right)-2\left(z-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2y-2z+5=0\)

68.

M là giao d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left(-3+2t\right)+2\left(-1+t\right)-\left(3+t\right)+5=0\)

\(\Rightarrow t=1\)

Thay vào pt d:

\(\Rightarrow M\left(-1;0;4\right)\)

69.

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;2;-1\right)\)

Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận (1;2;-1) là 1 vtcp nên có pt:

\(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{-1}\)