Có : \(m^2+m+1>0\) với mọi m 

=> \(\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2=0\)là phương trình bậc  4 với mọi m

Đặt: \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2\)

Ta có: \(f\left(0\right)=-2< 0\)với mọi m 

\(f\left(1\right)=m^2+m+1>0\) với mọi m 

=> Tồn tại \(a\in\left(0;1\right)\) sao cho \(f\left(a\right)=0\) với mọi m 

=> Phương trình \(\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2=0\) có nghiệm thuộc ( 0; 1) với mọi m 

=> Phương trình \(\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2\)=0 có nghiệm với mọi m.

Ở dòng thứ 6 bạn thêm 1 chút để chặt chẽ hơn:

Vì f(0). f(1) < 0 => tồn tại....

Mình nghĩ bạn bị sai đề: 

Bạn thử sửa đề lại thành: 

lim (x--> 2) \(\frac{\sqrt{2x+5}-\sqrt{7+x}}{x^2-2x}\)

\(_{x\underrightarrow{lim}2}\frac{\sqrt{2x+5}-\sqrt{7-x}}{x^2-2x}\)

\(=x\underrightarrow{lim}2\frac{\left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{7+x}\right)\left(\sqrt{2x+5}+\sqrt{7+x}\right)}{\left(x^2-2x\right)\left(\sqrt{2x+5}+\sqrt{7+x}\right)}\)

\(=x\underrightarrow{lim}2\frac{1}{x\left(\sqrt{2x+5}+\sqrt{7+x}\right)}=\frac{1}{12}\)

Đề bài yêu cầu gì thế bạn. Tìm m để hàm số liên tục ???

lim\(\left(\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

= lim \(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

= lim \(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}\right)\)

= 1/3

\(\text{GIẢI :}\)

\(lim\left(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{\text{n}\left(\text{n}+1\right)}\right)\)

\(=lim\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{\text{n}}-\frac{1}{\text{n}+1}\right)\)

\(=lim\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{\text{n}\left(\text{n + 1}\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\)

woa ai ni

\(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=2-\frac{1}{n+1}\)

=> \(lim\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=lim\left(2-\frac{1}{n+1}\right)=2\)( khi n tiến tới vô cùng )