Cách 1:

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Tương tự:\(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right);\frac{1}{ac+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế có đpcm

Cách 2:

Áp dụng Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+a+1\right)+1}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3^2}{ab+a+1}+\frac{1}{1}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\)

Tương tự:

\(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{9}{bc+b+1}+1\right);\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{9}{ca+c+1}+1\right)\)

Cộng lại:

\(LHS\le\frac{9}{16}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)+\frac{3}{16}\)

Mà \(abc=1\) nên theo bổ đề quen thuộc ta có được đẳng thức sau luôn đúng:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\)

Khi đó ta có được đpcm

Vừa nghĩ ra cách này khá là oke gửi đến các bạn :))

Nháp:

Ta đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{u}{v};\frac{v}{w};\frac{w}{u}\right)\) thì ta có được:

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\frac{u}{v}\cdot\frac{v}{w}+\frac{u}{v}+2}=\frac{vw}{uv+uw+2vw}\) đến đây ta chưa được gì  cả nên nghĩ đến hướng đi khác

Để ý rằng ta làm tử và mẫu khử nhau rồi tạo ra phân thức mới rồi nhân ngược lên ta được tử số có 2 thừa số nhân lại với nhau

Ta cần tạo ra ít mẫu nhất có thể để bớt sự phức tạp. Mà ta lại có:

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\frac{u}{v}\cdot\frac{w}{u}+\frac{u}{v}+2}=\frac{v}{w+u+2v}\)

Đến đây rõ ràng đã bớt sự phức tạp. Khi đó ta có lời giải như sau:

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{u}{v};\frac{w}{u};\frac{v}{w}\right)\)

Ta có được 

\(LHS=\frac{v}{w+u+2v}+\frac{w}{u+v+2w}+\frac{u}{v+w+2u}\)

\(=3-\left(\frac{u+v+w}{w+u+2v}+\frac{u+v+w}{u+v+2w}+\frac{u+v+w}{v+w+2u}\right)\)

\(=3-\left(u+v+w\right)\left(\frac{1}{u+w+2v}+\frac{1}{u+v+2w}+\frac{1}{v+w+2u}\right)\)

\(\le3-\left(u+v+w\right)\cdot\frac{9}{4\left(u+v+w\right)}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

Ta có: \(a_n=1+\frac{2^n\left[1.3.5...\left(2n-1\right)\right]}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)

\(=1+\frac{2^n\left(2n\right)!}{\left[2.4.6..\left(2n\right)\right]\left[\left(n+5\right)\left(n+6\right)..\left(2n\right)\right]}\)

\(=1+\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)

\(=1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)

mặt khác \(1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+5n+5\right)^2\)

do đó a_n luôn là SCP

Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\) với a;b là các số thực

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(LHS=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\)

\(\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y+2-z^2}{2}+\frac{z+3-x^2}{2}\)

\(=3=RHS\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=1;y=0;z=\sqrt{2}\)

Vậy ..............

Ta có: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) (\(a;b;c\ne0\) )

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{2yz}{bc}+\frac{2xz}{ac}=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1-2\left(\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}\right)=1-2.0=1\)

=> đpcm

á em đổi biến lộn ạ. Em định viết H;U;Y  cho đúng tên mình mà quen tay lộn vào Y;Z ạ

Đặt \(\left(\frac{x}{a};\frac{y}{b};\frac{z}{c}\right)\rightarrow\left(H;U;Y\right)\)

Khi đó ta có:

\(H+U+Y=1;\frac{1}{H}+\frac{1}{U}+\frac{1}{Y}=0\Rightarrow HU+UY+YH=0\)

Thay vào thì :

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=\left(H+U+Y\right)^2-2\left(HU+UY+YH\right)=1\)

Vậy ta có đpcm

dcv_new 

dcv - new

Thay m = - 1 vào thì ta có: \(x^2-x-6=0\)

<=> x = 3 hoặc x = -2 

Vậy m = -1 và x2 = - 2

a, Thay \(x_1=3\)vào phương trình , khi đó :

\(pt< =>\)\(3^2+3m+2m-4=0\)

\(< =>5m+5=0\)

\(< =>m=-\frac{5}{5}=-1\)

Thay \(m=-1\)vào phương trình , khi đó :

\(pt< =>x^2-x+2=0\)

\(< =>x=\varnothing\left(vo-nghiem\right)\)(giải delta)

Vậy phương trình chỉ có nghiệm kép khi \(m=-1\)

b, Theo hệ thức vi ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-4\end{cases}}\)

Khi đó \(A=\frac{2m-4+3}{-m}=\frac{2m-1}{-m}\)

Bạn thiếu đề rồi thì phải !

\(\sqrt{x+2009}-y^2=\sqrt{y+2009}-x^2\)

<=> \(\left(\sqrt{x+2009}-\sqrt{y+2009}\right)+\left(x^2-y^2\right)=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+2009}+\sqrt{y+2009}}+x+y\right)=0\)

<=> x - y = 0 vì x; y dương 

<=> x = y 

khi đó: \(A=x^2+2x^2-2x^2+2x+2009=x^2+2x+2009\)

Bạn xem lại đề nhé!