Biến đổi

\(a+2-\frac{a+2}{b+2}=\frac{a+2}{2}+\frac{\left(a+2\right)b}{2\left(b+2\right)}\)

Đưa về bài toán chứng minh BĐT

\(\frac{a+b+c}{2}+\frac{\left(a+2\right)b}{2\left(b+2\right)}+\frac{\left(b+2\right)c}{2\left(c+2\right)}+\frac{\left(c+a\right)a}{2\left(a+2\right)}\ge3\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

\(a+b+c\ge3;\frac{\left(a+2\right)b}{b+2}+\frac{\left(b+2\right)c}{c+2}+\frac{\left(c+2\right)a}{a+2}\ge3\)

Cách giải: Hai Anh Bui

* Công thức tính số mol : n=m/M ( số mol)

=> công thức tính khối lượng mol:M=m/n (g/mol)

=> công thức tính khối lượng chất : m=n.M (g)

* trong đó

     n là  số mol ( lượng chất ); đơn vị mol

      m là khối lượng chất, đơn vị là g

    M là khối lượng mol của chất ,đơn vị là g/mol

Áp dụng BĐT Cosi

\(A=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2ab}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Đến đây bạn tự xử lí phần dấu "="

Nhật Quỳnh Cô si lỗi rồi kìa -_-

\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\)\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\frac{4}{4}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=1

Vậy..........................

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Áp dụng tương tự ta được

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2};\frac{d}{1+a^2}\ge c-\frac{da}{2}\)

Tương tự ta cũng được

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8}=2\)

Do vậy ta được \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{\left(a^2+1\right)-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)

Hoàn toàn tương tự ta được

\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2};\frac{1}{d^2+1}\ge1-\frac{d}{2}\)

Cộng theo vế của từng BĐT trên ta được

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1\ge2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1

Nguồn: Nguyễn Thị Thúy

\(B=\frac{3\left(x+1\right)}{x^3+x^2+x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x^3+x^2\right)+\left(x+1\right)}=\frac{3\left(x+1\right)}{x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{3}{x^2+1}\)

Vì \(x^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow x^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}\le1\forall x\)\(\Rightarrow\frac{3}{x^2+1}\le3\forall x\)

hay \(B\le3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=0\)\(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy \(maxB=3\)\(\Leftrightarrow x=0\)

Để oxi dư không làm hư hại bình chữa oxi vì oxi cháy tạo ra  và oxi có thể phản ứng với các chất tạo ra bình

                                                 Giải

ab + bc + ca = abc =>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

chọn a = 7 ; b = 3 ; c = \(\frac{21}{11}\)

=> \(\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ca}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}=0,81>\frac{3}{4}\)

Vậy BĐT phải là : 

\(\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ca}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

quy đồng ta có : 

\(\frac{b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+a^2b+ab^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> 4 .( b²c + bc² + c²a + ca² + a²b +ab² ) \(\ge\)3(2abc + a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + ca² ) 

<=> a²b + ab² +b²c +bc² + c²a + ac² \(\ge\)6abc

<=> \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)

<=>\(\frac{a+b}{c}+1+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge9\)

<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)          ( 1 ) 

Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

<=> ( a + b + c )( ab + bc + ac ) \(\ge\)9abc

Thật vậy do \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

                    \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{9}{a+b+c}\right)=9\)

đpcm .Dấu " = " xảy ra khi a= b = c 

Đề em nghĩ có chút sai sai nên em sửa rồi nha anh ( chắc vậy ) 

Không biết có ai bị lỗi công thức Toán  như mình không... Cứ phải mượn trình gõ Latex bên AoPS không à... Gõ bên olm không hiện.

Giả sử . Ta có:

Vậy điều kiện bài toán là thừa thải, và bất đẳng thức trên ngược dấu :)))

Với a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a + b = 1 .Suy ra 1 + a² =ab + a + b + a² = ( a+b) ( a + 1 ) 

                                                                                                       1 + b² = ab + a + b + b² = (a + b) ( b + 1 ) 

Khi đó ta có : 

\(vt=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+1\right)}=\frac{2ab+a+b}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)

     \(\frac{1+ab}{\left(a+b\right)\left(ab+a+b+1\right)}=\frac{1+ab}{2\left(a+b\right)}\)

\(vp=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)}}\)

\(=\frac{1+ab}{\left(a+b\right)\sqrt{2\left(ab+a+b+1\right)}}=\frac{1+ab}{\left(a+b\right)\sqrt{2\left(1+1\right)}}=\frac{1+ab}{2\left(a+b\right)}\)

=> Đẳng thức được chứng minh 

Từ giả thiết ta có c = f(0) \(\in\)Z ,còn a, b không nhất thiết phải nguyên ,chẳng hạn với a = b = \(\frac{1}{2},c\inℤ\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c=\frac{x\left(x+1\right)}{2}+c\inℤ\)

với mọi \(x\inℤ\)