cho a b c 0 và a+b+c=3 CMR a/1+b^2 +b/1+c^2 +c/1+a^2 >=3/2

Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Đánh giá tương tự , ta cũng có :

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2},\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ab}{2}\)

Từ đó suy ra :

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+c}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Mặt khác ,ta biết rằng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3.\)Từ đây ,kết hợp với đánh giá ở trên ,ta có kết quả cần chứng minh.

\(Ta\)\(có\) \(\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)ta có

\(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Chứng minh tương tụ với \(\frac{b}{1+c^2};\frac{c}{1+a^2}\)ta được

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\) \(\left(1\right)\)

Mặt khác ta có :

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(Hay\)\(3^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)\(\left(2\right)\)
\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)\(\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\(\left(3\right)\)

\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

                                                                                                       \(\left(đpcm\right)\)

Mình nghĩ bạn nên dùng web Wolfram|Alpha: Computational Intelligence để phân !

Máy mình window XP quá lỗi thời nên không làm được nha bạn ~

Bạn nhập là:factor 2x^4+3x^3+2x^2+3 là ok nhé !

=2x^2(x^2+1)+3(x^3+1)

=2x^2(x^2+2x+1)+(3x-3)(x^2+2x+1)

=(x^2+2x+1)(2x^2+3x-3)

Giả sử ta có tam giác thứ nhất có các cạnh là a; b; c đồng dạng với tam giác có các cạnh tương ứng là m; n; p

Gọi chu vi tg thứ nhất là C1; chu vi tam giác thứ 2 là C2

=> a/m=b/n=c/p (tỷ số đồng dạng) theo t/c dãy tỷ số bằng nhau

=> a/m=b/n=c/p=(a+b+c)/(m+n+p)=C1/C2

Ta có : 4.(x + 3 ) -166 = 7x - 17 + 8 .( 5x - 1 ) 

<=> 4x + 12 -166         = 7x - 17 + 40 .x - 8

<=> 4.3x                       = -129

<=>    x                           = -3

Vậy x = -3

<=>4x+12-166=7x-17+40x-8

<=>43x=-129

<=>x=-3

Bạn vào câu hỏi tương tự sẽ có lời giải !

\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng )

Vậy ta có ĐPCM

Đề có bị thiếu không bạn?