CM
\(a^2+4b^2+4c^2\ge4ab-4ac+8bc\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow x^2-6=2x^2-12x-x\sqrt{3}+6\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x-x\sqrt{3}+6\sqrt{3}+6=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(12+\sqrt{3}\right)x+6\sqrt{3}+6=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=\left(12+\sqrt{3}\right)^2-4\left(6\sqrt{3}+6\right)=123>0\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+\sqrt{3}+\sqrt{123}}{2}\)
\(\Rightarrow x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+\sqrt{3}-\sqrt{123}}{2}\)
No Name:Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3
Do a,b,c bình đẳng ta giả sử \(a\ge b\ge c\)
Đặt \(a-b=x;b-c=y\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(c\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2\left(x+2y\right)\ge0\left(true\right)\)
Vậy BĐT được chứng minh
\(\left(2x+1\right)\left(x+1\right)^2\left(2x+3\right)=18\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+1\right)-18=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2+8x+3\right)\left(x^2+2x+1\right)-18=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+\frac{3}{4}\right)\left(x^2+2x+1\right)-18=0\)
Đặt \(a=x^2+2x+\frac{3}{4}\) \(a=x^2+2x+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow4a\left(a+\frac{1}{4}\right)-18=0\)
\(\Leftrightarrow4a^2+a-18=0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-8a+9a-18=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a+9\right)\left(a-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4a+9=0\\a-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}a=-\frac{9}{4}\\a=2\end{cases}}\)
\(\left(+\right)a=-\frac{9}{4}\Rightarrow x^2+2x+\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=0\)\(\Leftrightarrow x^2+2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+2=0\)
( vô lí )
\(\left(+\right)a=2\Rightarrow x^2+2x+\frac{3}{4}=2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x-\frac{5}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1-\frac{9}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1-\frac{3}{2}\right)\left(x+1+\frac{3}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{5}{2}=0\\x-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)
=> (2x+1)(2x+3)(x+1)2=18
=> (2x+2-1)(2x+2+1)(x+1)2=18
=> ((2x+2)2-1)(x+1)2=18
=>(2x+2)2(x+1)2 _ (x+1)2 - 18 =0
=> (2(x+1))2(x+1)2_(x+1)2 - 18=0
=> 4(x+1)4 - (x+1)2 -18 =0
đặt (x+1)2=a
phương trình <=> 4a2 - a-18=0
=> 4a2 + 8a - 9a -18=0
=> 4a(a+2)-9(a+2)=0
=> (a+2)(4a-9)=0
từ đó tìm ra a xong tìm ra x mình nghĩ bạn giải đc :D
a)
Ta có:
( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) ( x + 7 ) + 2019
= [ ( x + 1 ) ( x + 7 ) ] . [ ( x + 3 ) ( x + 5 ) ] + 2019
= ( x2 + 8x + 7 )( x2 + 8x + 15 ) + 2019 ( 1 )
* Đặt x2 + 8x + 10 = a
thì ( 1 ) trở thành:
( a - 3 ) ( a + 5 ) + 2019
= a2 + 2a - 15 + 2019
= a ( a + 2 ) + 2004
=> Pt đã cho chia cho a = x2 + 8x + 10 dư 2004.
Vậy ..........
b)
- Vì x / (x2 - x + 1) = 1/5 => x2 - x + 1 = 5x
Ta có:
A = x2 / (x4 + x2 + 1)
A = x2 / [( x2 - x + 1 )( x2 + x + 1 )]
A = x2 / {5x . [( x2 - x + 1 ) + 2x ]}
A = x2 / [5x . ( 5x + 2x )]
A = x2 / ( 5x . 7x )
A = x2 / 35x2
A = 1/35
Vậy A = 1/35.
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (BĐT Cosi)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
Nhân vế theo vế \(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{2}\)
Nguồn:Hoàng Phương
Ta có : x2-2x+3|x-1| < 3
\(mx-2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(m-2\right)+3=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-3}{m-2}\)
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(m-2\ne0\Rightarrow m\ne2\)
Vậy với m khác 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
mx - 2x + 3 = 0 ( 1 )
P + ( 1 ) <=> ( m-2 )x + 3 = 0
Có nghiệm duy nhất <=> m - 2 \(\ne\)0 <=> m \(\ne2\)2
Xét hiệu (a^2 + 4b^2 + 4c^2)-( 4ab-4ac+8bc )
= (a^2-4ab+4b^2) + 4c^2 + (4ac-8bc)
=(a-2b)^2 + 4c^2 + 4c(a-2b)
=(a-2b+2c)^2 >=0
Vậy a^2 + 4b^2 + 4c^2 >= 4ab-4ac+8bc
hok tốt