Áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\frac{16}{\sqrt{x-6}}+\sqrt{x-6}\ge2\sqrt{16}=8\)

\(\frac{4}{\sqrt{y-2}}+\sqrt{y-2}\ge2\sqrt{4}=4\)

\(\frac{256}{\sqrt{z-1750}}+\sqrt{z-1750}\ge2\sqrt{256}=32\)

Cộng theo vế ta được \(LHS\ge4+8+32=44\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ...

anh tự xét dấu = đi

dcv_new Mơn nhìu nha ^_^

\(\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{\left(x+2\right)^2}=x+2\)

Hải Ngọc  ơi  bạn tính sai rồi
\(\sqrt{x^2+2x+4}=\sqrt{\left(x^2+2x+1\right)+3}\)

                                 \(=\sqrt{\left(x+1\right)^2+3}\)

Học tốt 

Trả lời:

\(\sqrt{x^2-25}=\sqrt{\left(x-5\right).\left(x+5\right)}\)

                        \(=\sqrt{x-5}.\sqrt{x+5}\)

Học tốt

Trả lời:

\(\sqrt{x^2-4x+4}=x^2-mx+2m-4\)\(\left(ĐK:x\ge2\right)\)

\(\sqrt{\left(x-2\right)^2}=x^2-mx+2m-4\)

\(x-2=x^2-mx+2m-4\)

\(x^2-mx+2m-x-2=0\)

\(x^2-\left(m+1\right).x+2m-2=0\)

\(\Delta=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.\left(2m-2\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m+8\)

\(=m^2-6m+9\)

\(\Rightarrow\left(m-3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow m-3=0\)

\(\Rightarrow m=3\)

Thay m=3 vào phương trình ta có:

\(x^2-\left(3+1\right).x+2.3-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\left(TM\right)\)

Vậy \(x=2\Leftrightarrow m=3\)

dễ mà nhưng em đang ốm ko giải đc mn hộ em với đủ 50   thì em giải cho nhé

+) \(B=6\sqrt{x-2}+6\sqrt{5-x}\Leftrightarrow B^2=\left(6\sqrt{x-2}+6\sqrt{5-x}\right)^2\)

\(=36\left(x-2\right)+36\left(5-x\right)+72\sqrt{\left(x-2\right)\left(5-x\right)}\ge108\Rightarrow B\ge6\sqrt{3}\)

+) \(A=B+2\sqrt{5-x}\ge6\sqrt{3}\)

Vậy \(A_{min}=6\sqrt{3}\)khi x=5

+) Đặt \(a=\sqrt{x-2};b=\sqrt{5-x}\)

+) Ta có: \(a^2+b^2=3\) 

+) \(\left(a^2+b^2\right)\left(6^2+8^2\right)\ge\left(6a+8b\right)^2\Leftrightarrow\left(6a+8b\right)^2\le300\Rightarrow6a+8b\le10\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{6}=\frac{b}{8}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-2}}{6}=\frac{\sqrt{5-x}}{8}\Leftrightarrow\frac{x-2}{36}=\frac{5-x}{64}\Leftrightarrow64x-128=180-36x\Leftrightarrow308=100x\)

\(\Leftrightarrow x=3.08\)

Vậy \(A_{max}=10\sqrt{3}\)khi x=3.08

làm xong ấn hủy :(( chán 

\(bđt\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2-2ab-2ac-2ad-2ae\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a\left(d+e\right)+\left(d+e\right)^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2+d^2-2de+e^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-d-e\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-b-c\right)^2+\left(d-e\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy ta có điều phải chứng minh 

cách khác câu a)

ta xét P=a²-a(b+c+d+e)+b²+c²+d²+e² là một tam thức bậc 2 theo biến a ta có \(\Delta=\left(b+d+c+e\right)^2-4\left(b^2+d^2+c^2+e^2\right)\)

theo bđt cauchy-schwarz ta có \(\left(1+1+1+1\right)\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge\left(b+d+c+e\right)^2\)

do đó \(\Delta\le0\), theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được

a²-a(b+c+d+e) +b²+c²+d²+e²>=0

bài toán được chứng minh

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: \(\frac{1}{a^4\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{1}{b^4\left(c+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{c^4\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và ta đưa BĐT cần chứng minh về dạng \(\frac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{y^3}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta được:\(\frac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{y+1}{8}+\frac{z+1}{8}\ge\frac{3}{4}x\)

Tương tự: \(\frac{y^3}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}+\frac{z+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge\frac{3}{4}y\); \(\frac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{x+1}{8}+\frac{y+1}{8}\ge\frac{3}{4}z\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(\frac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{y^3}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\)\(\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{y^3}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1