+) Bước 1: Chứng minh \(\Delta\) FPO vuông tại P

Ta có: \(\widehat{O_1}=\widehat{FOP}=\widehat{FOE}=\widehat{FOM}+\widehat{MOE}=\frac{1}{2}\widehat{COM}+\frac{1}{2}\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

=> \(\widehat{FOP}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

mà \(\widehat{FCP}=\widehat{FCB}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) ( góc nội tiếp = 1/2 góc ở tâm khi chắn cùng một cung)

=> \(\widehat{FOP}=\widehat{FCP}\)

=> Tứ giác CFPO nội tiếp  => \(\widehat{FPO}+\widehat{FCO}=180^o\Rightarrow\widehat{FPO}=180^o-90^o=90^o\)

=>  \(\Delta\) FPO vuông tại P

+) Bước 2: Chứng minh  \(\Delta\) EQO vuông tại Q. ( Chứng minh tương tự)

+) Bước 3: Chứng minh tỉ số: \(\frac{PQ}{EF}=\frac{OQ}{OE}\)

Xét  \(\Delta\) FPO vuông tại P và  \(\Delta\) EQO vuông tại Q có: \(\widehat{O_1}\) chung 

=>  \(\Delta\) FPO  ~  \(\Delta\) EQO

=> \(\frac{OQ}{OE}=\frac{OP}{OF}\)

Xét  \(\Delta\) OQP và  \(\Delta\) OEF  có: \(\frac{OQ}{OE}=\frac{OP}{OF}\)( chứng minh trên ) và \(\widehat{O_1}\) chung

=>  \(\Delta\) OQP ~  \(\Delta\) OEF

=> \(\frac{PQ}{EF}=\frac{OQ}{OE}\)(1) 

+) Bước 4: Chứng minh Tỉ số \(\frac{PQ}{EF}\)không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

Xét \(\Delta\)EQO vuông tại Q  => \(\cos\widehat{O_1}=\frac{OQ}{OE}\)

Mặt khác : \(\widehat{O_1}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\) ( xem chứng minh ở Bước 1) 

=> \(\cos\frac{1}{2}.\widehat{BOC}=\frac{OQ}{OE}\) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{PQ}{EF}=\cos\frac{1}{2}.\widehat{BOC}\)không đổi  khi M di chuyển. ::))

trả lời lẹ cho tui cấy

Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn HC và tia phân giác ^BHC => I là điểm cố định

I nằm trên đường trung trực của HC nên IH = IC => ∆IHC cân tại I => ^IHC = ^ICH

Lại có: ^IHC = ^IHM (Do HI là tia phân giác của ^BHC, theo cách chọn điểm phụ) => ^IHM = ^ICH hay ^IHM = ^ICN

Xét ∆ICN và ∆IHM có:

       IC = IH (theo cách chọn hình phụ)

       ^ICN = ^IHM (cmt)

       CN = HM (gt)

Do đó ∆ICN = ∆IHM (c.g.c)

=> IN = IM (hai cạnh tương ứng)

Do đó I thuộc đường trung trực của MN

Vậy đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định I (đpcm)

\(\Leftrightarrow\frac{-3x\left(x+1\right)}{x+\sqrt{x^2+x+1}}+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1-\frac{3x}{\sqrt{x^2+x+1}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\left(1\right)\\1=\frac{3x}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(2\right)\end{cases}}\)

PT(2)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=3x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=9x^2\)

\(\Leftrightarrow8x^2-x-1=0\)

Ta co

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.8.\left(-1\right)=33>0\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{8};x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\)

Vay PT co nghiem la \(x=-1;x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{8};x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{8}\) 

Bạn tham khảo câu hỏi này nha ,cũng giống của bạn đó !

https://olm.vn/hoi-dap/detail/190594364306.html

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}+8\sqrt{\left(x+3\right)\left(1-x\right)}=2\)

\(\sqrt{x+3}\left(1+8\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x}-2=0\)

\(\sqrt{x+3}\left(1+8\sqrt{1-x}\right)-\frac{x+3}{\sqrt{1-x}+2}=0\)

\(\sqrt{x+3}\left(1+8\sqrt{1-x}-\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{1-x}+2}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-3\)

\(8\sqrt{1-x}+\frac{\sqrt{1-x}+2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1-x}+2}=0\)

\(\Rightarrow8\sqrt{1-x}\left(\sqrt{1-x}+2\right)+\sqrt{1-x}+\frac{1-x}{2+\sqrt{x+3}}=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-x}\left(8\sqrt{1-x}+17+\frac{\sqrt{1-x}}{2+\sqrt{x+3}}\right)=0\)

\(\left(8\sqrt{1-x}+17+\frac{\sqrt{1-x}}{2+\sqrt{x+3}}\right)>0\)

\(\Rightarrow x=1\)

Vậy pt 2 nghiệm x=-3 x=1