a) \(\dfrac{9}{4}-3y+y^2\)

\(=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-3y+y^2\)

\(=y^2-2\cdot\dfrac{3}{2}\cdot y+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\)

\(=\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2\)

b) \(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3\)

\(=x^3+6x^2y+12xy^2+\left(2y\right)^3\)

\(=x^3+3\cdot x^2\cdot2y+3\cdot x\cdot\left(2y\right)^2+\left(2y\right)^3\)

\(=\left(x+2y\right)^2\)

 Với \(n=4\), ta chỉ ra một trường hợp sau thỏa mãn:

 Với \(n\le3\), ta xét trường hợp mà n đường thẳng chia hình tròn thành nhiều miền nhất. (Tức là không có 3 đường nào đồng quy và không có 2 đường thẳng nào song song hoặc cắt nhau bên ngoài hình tròn). Khi đó đường tròn bị chia thành tối đa 7 miền, không thỏa mãn.

Vậy \(min_n=4\)

 Xét hệ trục tọa độ Oxy với O trùng với vị trí ban đầu của Peter, Ox trùng với hướng Tây - Đông, Oy trùng với phương Nam - Bắc.

 Gọi A, B, C tương ứng là vị trí của Peter sau lần đi thứ nhất, thứ 2 và cuối cùng. 

 Ta có \(OA=16km\), \(\widehat{OAC}=90^o\) và \(AC=AB-BC=16-8=8\left(km\right)\)

 \(\Rightarrow OC=\sqrt{15^2+8^2}=17\left(km\right)\)

 Vậy sau lần đi cuối cùng, Peter cách vị trí ban đầu 17km.

 Gọi mã là \(\overline{mXn}\)

 Ta thấy có 10 cách chọn \(m\), 10 cách chọn \(n\) và 26 cách chọn X nên sẽ có nhiều nhất \(10.10.26=2600\) mật mã khác nhau.

 Vậy công ty đó có thể dán mã lên nhiều nhất 2600 loại sản phẩm khác nhau.

Gọi số bộ ghép hình là x; số búp bê là y và số gấu bông là z ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=14\\8x+4y+5z=92\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8x+8y+8z=112\left(1\right)\\8x+4y+5z=92\left(2\right)\end{matrix}\right.\)  Trừ 2 vế của (1) cho (2)

\(\Rightarrow4y+3z=20\Leftrightarrow y=\dfrac{20-3z}{4}=5-\dfrac{3z}{4}\) 

Do \(y\in\) N* => 4 phải là UC(3z)

Đồng thời \(y>0\Rightarrow5-\dfrac{3z}{4}>0\Leftrightarrow3z< 20\Leftrightarrow z< \dfrac{20}{3}\Rightarrow z\le6\)

=> Giá trị z thỏa mãn là z=4

X : Y = 8 ⇒  X/8 = Y/1 ⇒ X/16 = Y/2 (1)

Z : X = 3 : 16 ⇒ Z/3 = X/16 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ X/16 = Y/2 = Z/3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

X/16 = Y/2 = Z/3 = (X + Y + Z)/(16 + 2 + 3) = 150/21 = 50/7

X/16 = 50/7 ⇒ X = 50/7 . 16 = 800/7

Vậy X = 800/7

Gọi chiều dài đoàn tàu ngắn là x thì chiều dài đoàn tàu dài là 2x

Giả sử 1 trong 2 đoàn tàu đứng yên thì vận tốc của đoàn tàu còn lại là 

74+70=144 km/h

Hai đoàn tàu đi ngược chiều nhau mất 6 s là khoảng thời gian khi đầu của 2 đoàn tàu bắt đầu gặp nhau cho đến khi đuôi của 2 đoàn tàu gặp nhau

Khi đó đoàn tàu được coi là chuyển động đã đi được quãng đường bằng tổng chiều dài của 2 đoàn tàu và là

x+2x=3x

Ta có phương trình

\(\dfrac{3x}{144}=\dfrac{6}{3600}=\dfrac{1}{600}\Leftrightarrow1800x=144\Leftrightarrow x=0,08km=80m\)

Chiều dài đoàn tàu dài là

2.80=160 m

66 cách dùng tổ hợp nhé

Lời giải:

$ax+by=c, bx+cy=a; cx+ay=b$

$\Rightarrow ax+by+bx+cy+cx+ay=a+b+c$
$\Rightarrow (a+b+c)(x+y)=a+b+c$
$\Rightarrow a+b+c=0$ hoặc $x+y=1$

TH1: $a+b+c=0$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$

$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=-c^3+3abc+c^3=3abc$ (đpcm)

TH2: $x+y=1$:

$ax+by=c$

$\Rightarrow ax+b(1-x)=c\Rightarrow ax-bx=c-b$

Tương tự: $bx-cx=a-c; cx-ax=b-a$

$\Rightarrow x^3(a-b)(b-c)(c-a)=(c-b)(a-c)(b-a)=-(a-b)(b-c)(c-a)$

$\Rightarrow x^3=-1$ hoặc $(a-b)(b-c)(c-a)=0$

Nếu $(a-b)(b-c)(c-a)=0\Rightarrow a=b$ hoặc $b=c$ hoặc $c=a$

$a=b$ thì $c-b=x(a-b)=0\Rightarrow b=c$

$\Rightarrow a=b=c$. Do đó: $a^3+b^3+c^3=3a^3=3abc$

Tương tự với TH $b=c, c=a$

Nếu $x^3=-1\Rightarrow x=-1$. Khi đó $y=2$

Khi đó:
$2b-a=c; 2c-b=a; 2a-c=b$

$\Rightarrow 2b=a+c, 2c=a+b, 2a=b+c$

$\Rightarrow 2b-2c=c-b\Rightarrow b=c$.

$2c-2a=a-c\Rightarrow a=c$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3a^3=3abc$ 

Vậy ta có đpcm.