Cho 2 số a,b nguyên dương: \(\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\) . CMR: \(2a+2b+1\)là số chính phương
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ \(AK\perp BC\)
Xét \(\Delta ABC\)có :
\(AM=MB\left(gt\right)\)
\(AN=NC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow MN//BC;MN=\frac{1}{2}BC\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BHC\)có :
\(HP=PC\left(gt\right)\)
\(HQ=QB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\)PQ là đường trung bình của \(\Delta BHC\)
\(\Rightarrow PQ//BC;PQ=\frac{1}{2}BC\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow MN//PQ;MN=PQ\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình bình hành \(\left(3\right)\)
Xét \(\Delta BAH\)có :
\(BM=MA\left(gt\right)\)
\(BQ=QH\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\)MQ là đường trung bình của \(\Delta BAH\)
\(\Rightarrow MQ//AH\)
\(\Rightarrow MQ//AK\)
mà \(AK\perp BC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MQ\perp BC\)
mà \(MN//BC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MQ\perp MN\)
\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^o\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MP=NQ\)
\(\frac{y^3}{y+1}+\frac{y^2}{y-1}+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1}\)
\(=\frac{y^3+1}{y+1}+\frac{y^2-1}{y-1}\)
\(=\frac{\left(y+1\right)\left(y^2-y+1\right)}{y+1}+\frac{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}{y-1}\)
\(=y^2-y+1+y+1=y^2+2\)
\(=\frac{3y^2}{x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}+\frac{y}{x\left(x^2+xy+y^2\right)}-\frac{1}{x\left(x-y\right)}\)
\(=\frac{3y^2+y\left(x-y\right)-\left(x^2+xy+y^2\right)}{x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\)
\(=\frac{-\left(x^2-y^2\right)}{x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}=\frac{-\left(x+y\right)}{x\left(x^2+xy+y^2\right)}\)
Nếu n\(\ge\)6 thì n! =1.2.3.4.5.6.....n chia hết cho9, n! chia hết cho 3
mà 105 chia hết cho 3
=> (n!+105) chia hết cho 3
n! + 105 là số chính phương => (n!+105) chia hết cho 9
mà n! chia hết cho 9
=> 105 chia hết cho 9( vô lý)(loạiI
+) Nếu n=5 thì n!+105 =5!+105=225=152
+) Nếu n=4 thì n!+105=4!+105=129 (không là SCP )(loại)
+) Nếu n=3 thì n!+105=3!+105=111(ko là SCP)(LOẠI)
+) Nếu n=2 thì n!+105=2!+105=107 (loại)
+) Nếu n=1 thì n!+105=106(loại)
+) Nếu n=0 thì n!+105=106 (loại)
Vậy n=5
Ta có :
\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ba}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow P=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)( 1 )
Biến đổi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)ta được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=\frac{-1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{c^3}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{-1}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)( 2 )
Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được
\(P=abc.\frac{3}{abc}=3\)