\(M=\frac{x+2xy-2y-1}{4y^2-1}\div\frac{3x^2}{2y-1}\)

\(M=\frac{x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}.\frac{2y-1}{3x^2}\)

\(M=\frac{\left(x-1\right)\left(2y+1\right)\left(2y-1\right)}{3x^2\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}=\frac{x-1}{3x^2}\)không phụ thuộc vào biến \(y\)

\(M=\frac{x+2xy-2y-1}{4y^2-1}:\frac{3x^2}{2y-1}=\frac{x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}:\frac{3x^2}{2y-1}\)

\(=\frac{\left(x-1\right)\left(2y+1\right)}{\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)}:\frac{3x^2}{2y-1}=\frac{x-1}{2y-1}.\frac{2y-1}{3x^2}=\frac{x-1}{3x^2}\)

Vậy giá trị biểu thức ko phụ thuộc biến y 

1.\(x\left(x+y\right)-3x-3y=x\left(x+y\right)-3\left(x+y\right)=\left(x-3\right)\left(x+y\right)\)

2.\(\left(3x+1\right)^2-\left(x-2\right)^2=\left(3x+1+x-2\right)\left(3x+1-x+2\right)=\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)\)

a, \(x\left(x+y\right)-3x-3y=x\left(x+y\right)-3\left(x-y\right)=\left(x-3\right)\left(x-y\right)\)

b, \(\left(3x+1\right)^2-\left(x-2\right)^2=9x^2+6x+1-\left(x^2-4x+4\right)\)

\(=9x^2+6x+1-x^2+4x-4=8x^2+10x-3=\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)\)

\(\left[\left(\frac{x}{x+3}\right)+\left(\frac{2}{3-x}\right)+\left(\frac{x^2-1}{9-x^2}\right)\right]:\frac{x+1}{x+3}\)

\(=\left[\left(\frac{x}{x+3}\right)+\left(\frac{2}{3-x}\right)+\left(\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(3-x\right)\left(x+3\right)}\right)\right]:\frac{x+1}{x+3}\)

\(=\left[\frac{x\left(3-x\right)}{\left(x+3\right)\left(3-x\right)}+\frac{2\left(x+3\right)}{\left(3-x\right)\left(x+3\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(3-x\right)\left(x+3\right)}\right]:\frac{x+1}{x+3}\)

\(=\left[\frac{3x-x^2+2x+6+x^2-1}{\left(3-x\right)\left(x+3\right)}\right].\frac{x+3}{x+1}\)

\(=\frac{5x-1}{\left(3-x\right)\left(x+3\right)}.\frac{x+3}{x+1}=\frac{5x-1}{\left(3-x\right)\left(x+1\right)}\)

\(\frac{x^3-y^3}{2y}.\left[\frac{2y}{4-2y-2x+xy}+\frac{2xy+4y}{\left(x-y\right)\left(x^2-4\right)}\right]\)

\(=\frac{x^3-y^3}{2y}.\left[\frac{2y}{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}+\frac{2y\left(x+2\right)}{\left(x-y\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right]\)

\(=\left(x^3-y^3\right).\left[\frac{x-y}{\left(x-y\right)\left(x-2\right)\left(y-2\right)}+\frac{y-2}{\left(x-y\right)\left(x-2\right)\left(y-2\right)}\right]\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-y\right)\left(x-2\right)\left(y-2\right)}\)

\(=\frac{x^2+xy+y^2}{y-2}\)

\(4x^4-21x^2y^2+4y^2=\left(2x^2\right)^2-2.2x^2.2y^2+\left(2y^2\right)^2-13x^2y^2\)

\(=\left(2x^2-2y^2\right)^2-\left(\sqrt{13}xy\right)^2\)

\(=\left(2x^2-\sqrt{13}xy-2y^2\right)\left(2x^2+\sqrt{13}xy-2y^2\right)\)

Xem cách giải theo link: Câu hỏi của Trung Tính Hồ - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\left(x+y+z\right)^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz=1+3xyz\Rightarrow xyz=0\)

- \(x=0\Rightarrow xy+yz+zx=yz=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\z=0\end{cases}}\).

Tương tự với các trường hợp còn lại. 

\(\left(x,y,z\right)\in\left\{\left(0,0,1\right)\right\}\)và các hoán vị. 

Vậy \(x+y^2+z^3=1\)

Ta có \(x+y+z=1\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow1+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=z\\x+y+z=y\\x+y+z=x\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\y=1\\x=1\end{cases}}\)

TH1 : Nếu \(z=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2=1\)

                             \(\Rightarrow x^2+y^2=0\)

                             \(\Rightarrow x=y=0\)

\(\Rightarrow x+y^2+z^3=0+0^2+1^3=1\)

CMTT ta có: \(x+y^2+z^3=0+1^2+0^3=1\)

                    \(x+y^2+z^3=1+0^2+0^3=1\)  (đpcm)

Bạn tự vẽ hình nhé. 

a) Xét tứ giác \(AKCE\)có: \(OA=OC\)(tính chất hình bình hành) 

                                              \(OK=OE\)(vì \(OE=BO-BE=DO-DK=OK\))

suy ra \(AKCE\)là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành).

b) \(AKCE\)là hình bình hành nên \(AK//CE\Rightarrow AM//CN\).

Xét tứ giác \(AMCN\)có: \(AM//CN\)(cmt)

                                            \(AN//CM\)(do \(AB//CD\))

suy ra \(AMCN\)là hình bình hành. 

\(\Rightarrow AN=CM\).

c) \(O\)là giao điểm của \(AC\)và \(KE\). 

Vì \(AMCN\)là hình bình hành nên \(MN\), \(AC\)cắt nhau tại trung điểm mỗi đường suy ra \(MN\)cắt \(AC\)tại \(O\).

Suy ra đpcm. 

d) Để \(AKCE\)là hình thoi thì \(AC\perp KE\)(hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi) 

suy ra \(AC\perp BD\)suy ra \(ABCD\)là hình thoi.

Khi đó: 

Xét tam giác \(AOD\)vuông tại \(O\): \(AD^2=AO^2+OD^2\)(định lí Pythagore) 

                                                            \(\Leftrightarrow AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=4.S_{AOD}=4.\frac{1}{2}AO.OD=4.\frac{1}{2}.3.4=24\left(cm^2\right)\)