Đổi 6 giờ 30 phút = \(\frac{13}{2}giờ\)

Gọi độ dài quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là x \(\left(km,x>0\right)\)

      Thời gian đi từ Hà Nội đến Phủ Lý là \(\frac{x}{50}\left(giờ\right)\)

      Thời gian đi từ Phủ Lý đến Hà Nội là \(\frac{x}{40}\left(giờ\right)\)

VÌ người đó đến Phủ Lý làm viện 2 giờ rồi quay về Hà Nội và tổng thời gian hết 6 giờ 30 phút nên ta có phương trình:

    \(\frac{x}{50}+2+\frac{x}{40}=\frac{13}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x}{200}+\frac{400}{200}+\frac{5x}{200}=\frac{1300}{200}\)

\(\Leftrightarrow4x+400+5x=1300\)

\(\Leftrightarrow9x=900\)

\(\Leftrightarrow x=100\left(TM\right)\)

Vậy quãng đường Hà Nội - Phủ Lý dài \(100km\)

Tổng thời gian người đó đi và về là : 6 giờ 30 phút - 2 giờ = 4 giờ 30 phút = 9/2 giờ

Gọi độ dài quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là x ( km , x > 0 )

Đi từ Hà Nội tới Phủ Lý với vận tốc 50km/h => Thời gian đi = x/50 ( h )

Đi từ Phủ Lý về Hà Nội với vận tốc 40km/h => Thời gian đi = x/40 ( h )

Tổng thời gian đi và về là 9/2 giờ

=> Ta có phương trình : \(\frac{x}{50}+\frac{x}{40}=\frac{9}{2}\)

                               <=> \(x\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{40}\right)=\frac{9}{2}\)

                               <=> \(x\cdot\frac{9}{200}=\frac{9}{2}\)

                               <=> \(x=100\)( tmđk )

Vậy quãng đường Hà Nội - Phủ Lý dài 100km

Bài làm:

Bài 1:

Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)

\(=\left(2x-1\right)^2+\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+14\)\(\ge0+2\sqrt{4x^2.\frac{1}{4x^2}}+14=2+14=16\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^2=0\\4x^2=\frac{1}{4x^2}\end{cases}\Rightarrow x=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(Min\left(T\right)=16\)khi \(x=\frac{1}{2}\)

Bài 2:

Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\left(1\right)\)

Ta xét \(\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{\left(c^2+a^2\right)-c^2}{c\left(c^2+a^2\right)}=\frac{1}{c}-\frac{c}{c^2+a^2}=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{a}.\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b\)và \(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)

Cộng vế 3 bất đẳng thức trên lại ta được:

\(P\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{a}-\frac{1}{2}b+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}c\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\left(theo\left(1\right)\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\b^2=c^2\\c^2=a^2\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)

Vậy \(Min\left(P\right)=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)

Học tốt!!!!

 

Bài làm:

Gọi \(x\) là số kg nước đang sôi \(\left(x< 6\right)\)

=> \(6-x\)là số kg nước đá 10 độ C

Ta có nhiệt dung riêng của nước 4200J/kg.k ; nước sôi ở 100 độ C và giả sử không có sự bốc hơi nước

Ta có phương trình cân bằng nhiệt:

\(Q_{toa}=Q_{thu}\)

\(\Leftrightarrow m_1.c_{H_2O}.\Delta t_1=m_2.c_{H_2O}.\Delta t_2\)

\(\Leftrightarrow x.4200.\left(100-30\right)=\left(6-x\right).4200.\left(30-10\right)\)

\(\Leftrightarrow294000x=504000-84000x\)

\(\Leftrightarrow378000x=504000\)

\(\Rightarrow x=\frac{4}{3}\left(kg\right)\approx1,33\left(kg\right)\)

Số kg nước lạnh là: \(6-1,33=4,67\left(kg\right)\)

Vậy cần đổ khoảng 1,33kg nước đang sôi vào 4,67kg nước lạnh ở 10 độ C để thu được 6 lít nước ở nhiệt độ 30 độ C

Học tốt!!!!
 

Ở đoạn cuối mình kết luận nhầm phải là 30kg nước ở nhiệt độ 30 độ C nhé!

\(CMR\) \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)