Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc Theo giả thiết abc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

Điều kiện cần và đủ để hàm số đi qua điểm cố định \(M\left(x_0;y_0\right)\) là: 

\(y_0=mx_0+m+6\left(\forall m\right)\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)+y_0-6=0\left(\forall m\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0+1=0\\y_0-6=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=-1\\y_0=6\end{cases}}}\)

Vậy hàm số y = mx + m - 6 luôn đi qua điểm cố định \(M\left(-1;6\right)\) với mọi m

ta có \(\sum\) \(a+\frac{9}{16}a^2\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}\)

\(\Rightarrow\)\(\sum\) \(a\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}-\frac{9}{16}a^2\)\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})-\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)\ge\frac{9}{2}\sqrt{abc}-\frac{9}{16}.4\sqrt{abc}\)>\(2\sqrt{abc}\) theo bđt côsi 

ĐPCM 

có thể cảm ơn tôi tại đây https://diendantoanhoc.net/members/

a) \(x\ge0\)đặt \(\sqrt{x}=a\ge0\)

\(A=\frac{2a}{a^2-a+1}\Leftrightarrow A.a^2+A-2a=0\Leftrightarrow A.a^2-\left(A+2\right)a+A=0\)

\(\Delta=\left(A+2\right)^2-4A^2=-3A^2+4A+4\ge0\Rightarrow A\le2\)

\(\Rightarrow A_{max}=2\) khi  \(x=1\)

b) 

\(x\ge0\)

\(B=-\left(x-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{7}{4}=-\left(\sqrt{x-\frac{1}{2}}\right)^2-\frac{7}{4}\le\frac{-7}{4}\)

\(\Rightarrow B_{max}=\frac{-7}{4}\) khi \(\sqrt{x=}\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

c) \(x\ge0\)

\(C=-2+\sqrt{x}-1=-2\left(x-2.\sqrt{x}.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right)-\frac{7}{8}\)

\(C=-2\left(\sqrt{x}-\frac{1}{4}\right)^2\frac{7}{8}\le\frac{-7}{8}\)

\(C_{max}=\frac{-7}{8}\)khi đó \(x=\frac{1}{16}\)

gt \(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\). Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) suy ra \(xy+yz+zx=3\)

Quy về:Tìm Min \(A=\Sigma_{cyc}\frac{x^3}{\left(2z+y\right)}\)