Trong không gian cho 2006 điểm mà trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Người ta nối tất cả các điểm bởi đoạn thẳng. Số nguyên dương \(m\) được gọi là "số tốt" nếu ta có thể gán cho mỗi đoạn thẳng trong các đoạn thẳng đã nối bởi một số tự nhiên không vượt quá \(m\) sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất kì trong số các điểm đó đều có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại được gán bởi số lớn hơn hai số đó. Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất.

Dãy số (��)(u

_n) thỏa mãn ��≥�2u
​≥n²2 với mọi $n$. Tính lim u_n
​.

 Trong không gian cho 7 điểm phân biệt sao cho không có bốn điểm nào đồng phẳng. Tất cả các điểm đó được nối với nhau bởi các đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô bởi hai màu xanh, đỏ hoặc không được tô màu. Tìm số \(k\) nhỏ nhất sao cho với mọi cách tô màu \(k\) đoạn thẳng bất kì trong các đoạn thẳng đó, luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu. 

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, một điểm \(M\left(x,y,z\right)\) được gọi là điểm nguyên nếu \(x,y,z\inℤ\). Cho đa diện lồi A₁A₂...A_n với \(n\ge4\) đỉnh và các A_i đều là các điểm nguyên với mọi \(1\le i\le n\). Biết rằng trên mỗi cạnh, mặt và ở miền trong của đa diện đều này không có điểm nguyên nào ngoài các A_i. Tìm giá trị lớn nhất có thể của \(n\).