Cho bốn số thực dương \(a,b,x,y\) thỏa mãn \(a+b=4ab\). Chứng minh rằng:
\(a\)) \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\).
\(b\)) \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tỉ số phần trăm số học sinh biết bơi so với toàn trường:
\(14:\left(11+14\right)\times100\%=56\%\)
câu a)
\(x+\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}\\ x=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{4}\\ x=0\)
câu b)
\(x-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{-3}\\ x=\dfrac{-1}{3}+\dfrac{1}{6}\\ x=\dfrac{-1}{6}\)
Tổng chiều dài và chiều rộng:
\(18\times2=36\left(m\right)\)
Chiều dài là:
\(\left(36+6\right):2=21\left(m\right)\)
Chiều rộng là:
\(21-6=15\left(m\right)\)
Diện tích là:
\(21\times15=315\left(m^2\right)\)
Tổng của chiều dài và chiều rộng là:
\(18\times2=36\left(m\right)\)
Chiều dài của hình chữ nhật đó là:
\(\left(36+6\right):2=21\left(m\right)\)
Chiều rộng của hình chữ nhật đó là:
\(36-21=15\left(m\right)\)
Diện tích của hình chữ nhật đó là:
\(21\times15=315\left(m^2\right)\)
Đáp số: \(315m^2\)
a) \(\dfrac{5}{11}\cdot\dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{11}\cdot\dfrac{2}{7}+\dfrac{6}{11}=\dfrac{5}{11}\cdot\left(\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7}\right)+\dfrac{6}{11}=\dfrac{5}{11}\cdot1+\dfrac{6}{11}=\dfrac{5}{11}+\dfrac{6}{11}=\dfrac{11}{11}=1\)
b) \(\dfrac{3}{13}\cdot\dfrac{6}{11}+\dfrac{3}{13}\cdot\dfrac{9}{11}-\dfrac{3}{13}\cdot\dfrac{4}{11}=\dfrac{3}{13}\cdot\left(\dfrac{6}{11}+\dfrac{9}{11}-\dfrac{4}{11}\right)=\dfrac{3}{13}\cdot\dfrac{11}{11}=\dfrac{3}{13}\cdot1=\dfrac{3}{13}\)
c) \(\dfrac{-5}{6}\cdot\dfrac{4}{19}+\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{4}{-19}-\dfrac{40}{57}=\dfrac{-5}{6}\cdot\dfrac{4}{19}+\dfrac{-7}{12}\cdot\dfrac{4}{19}-\dfrac{40}{57}=\dfrac{4}{19}\cdot\left(\dfrac{-5}{6}+\dfrac{-7}{12}\right)-\dfrac{40}{57}\)
\(=\dfrac{4}{19}\cdot\dfrac{-17}{12}-\dfrac{40}{47}=\dfrac{-17}{57}-\dfrac{40}{57}=\dfrac{-57}{57}=-1\)
d) \(\left(\dfrac{11}{4}\cdot\dfrac{-5}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{11}{-4}\right)\cdot\dfrac{8}{33}=\left(\dfrac{11}{4}\cdot\dfrac{-5}{9}+\dfrac{-4}{9}\cdot\dfrac{11}{4}\right)\cdot\dfrac{8}{33}=\dfrac{11}{4}\cdot\dfrac{8}{33}\cdot\left(\dfrac{-5}{9}+\dfrac{-4}{9}\right)\)
\(=\dfrac{11}{4}\cdot\dfrac{8}{33}\cdot1=\dfrac{11\cdot8}{4\cdot33}=\dfrac{2}{3}\)
e) \(\left(\dfrac{12}{61}-\dfrac{31}{22}+\dfrac{14}{91}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)=\left(\dfrac{12}{61}-\dfrac{31}{22}+\dfrac{14}{91}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}\right)\)
\(=\left(\dfrac{12}{61}-\dfrac{31}{22}+\dfrac{14}{91}\right)\cdot0=0\)
a) 28/11⋅21/22⋅9
=28⋅21/11⋅22⋅9
=14⋅21/11⋅11⋅9
=294/121⋅9
=2646/121
Số chẵn nhỏ nhất có ba chữu số khác nhau mà có hàng trăm là 5 là số: `150`
Số lẻ nhỏ nhất có 3 chữ số khác nhau là: `103`
Tổng của chúng là:
`150 + 103 = 253`
Đáp số: ...
Số chẵn nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau mà hàng trăm bằng 5 là:
502
Số lẻ nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau là: 103
Tổng của hai số đã cho là:
502 + 103 = 605
Đs..
Lời giải:
Gọi chiều dài mảnh đất hcn là $a$ (m), chiều rộng mảnh đất hcn cũng như cạnh hình vuông là $b$ (m)
Theo bài ra ta có:
$2(a+b)-4b=60$
$\Rightarrow a-b=30$
$ab-b^2=1800$
$\Rightarrow b(a-b)=1800$
$\Rightarrow b.30=1800$
$\Rightarrow b=1800:30=60$ (m)
$a=b+30=60+30=90$ (m)
Tổng diện tích hai mảnh đất:
$ab+b^2=90.60+60^2=9000$ (m2)
a) BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge xya^2+2abxy+xyb^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b) Ta có \(VT=\dfrac{a^2}{4b^2a+a}+\dfrac{b^2}{4a^2b+b}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+a+b}\) (vì \(4ab=a+b\))
\(=\dfrac{a+b}{a+b+1}\)
Đặt \(t=a+b\left(t>0\right)\) thì suy ra \(VT\ge\dfrac{t}{t+1}\)
Do \(4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
Nên \(a+b\ge1\) \(\Rightarrow t\ge1\)
Ta cần tìm GTNN của \(T=\dfrac{t}{t+1}\) với \(t\ge1\)
\(T=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{t}}\)
Ta có \(t\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}\le1\Leftrightarrow1+\dfrac{1}{t}\le2\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{t}}\ge\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(T\ge\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{4b^2a+a}=\dfrac{b}{4a^2b+b}\) và \(t=1\)
\(\Leftrightarrow4a^3b+ab=4b^3a+ab\) và \(a+b=1\)
\(\Leftrightarrow a=b\) và \(a+b=1\)
\(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)