\(A=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}.\left(\sqrt{10}+\sqrt{6}\right)\)

\(A=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(16-15\right)}.\left(\sqrt{2.5}+\sqrt{2.3}\right)\)

\(A=\sqrt{4+\sqrt{15}}.\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\)

\(A=\sqrt{8+2\sqrt{3.5}}.\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}.\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\)

\(A=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right).\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(A=8+2\sqrt{15}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :

\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Rightarrow9a^3+3b^2+c\ge\frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\le a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)

Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế :
\(P\le\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+\left(ab+bc+ac\right)\)

\(P\le\frac{2}{3}+ab+bc+ac\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM - GM :

\(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{max}=1\)

Vậy GTLN của P là 1 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Để đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-9) thì x = 1; y = -9

Thay x = 1; y = -9 vào y = (m - 2)x + 4, ta có:
          -9 = (m - 2).1 +4
          -9 = m - 2 + 4
          -9 = m + 2
          m = -9 - 2
          m = -11
Vậy để  hàm số đi qua điểm (1; -9) thì m  = -11

mị mới lớp 5 ahihi

ĐK: \(12\le x\le14\)

Sau khi nhân liên hợp chúng ta có được:

\(PT\Leftrightarrow\left(x-13\right)^2\left[1+\frac{\frac{2}{1+\sqrt{\left(x-12\right)\left(14-x\right)}}}{2+\sqrt{x-12}+\sqrt{14-x}}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x=13\)

Khủng khiếp tí nhưng chắc không sao:v

thay x=1 y=3 vào hàm số y=(a-1)x+a

\(\Rightarrow3=a-1+a\)

\(\Leftrightarrow2a=4\)

\(\Leftrightarrow a=2\)

vậy a=2

thay x=1 ; y=3

=) 3=(a-1)1+a

(=)3=a-1+a

(=)2a=4

(=)a=2

Vậy a=2

Cho y ở đề bài làm gì trong khi biểu thức ở vế trái bên dưới ko có y?

à là \(\frac{8x}{y}\)đó

\(f\left(x\right)=2x^2+x-6\)

Xét \(f\left(x\right)\) trên \(\left[0;\sqrt{3}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{4}\notin\left[0;\sqrt{3}\right]\)

\(f\left(0\right)=-6;f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(0\right)=-6\)

\(f\left(x\right)_{max}=f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}\)

Bài này đăng nhiều trên OLM rồi, lời giải vắn tắt:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{1+b^2}=\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{ab^2}{1+b^2}\)

\(\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)(bđt cô - si)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng từng vế của các bđt trên:

\(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Dễ c/m:  \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow3^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)

\(BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

hay \(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\frac{3}{2}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))