ĐK: \(x\ge1\)

Đặt \(\left(\sqrt{x+1};\sqrt{x-1}\right)=\left(a;b\right)\)\(\left(a,b\ge0\right)\)

pt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^2-3=\frac{1}{a-b}=\frac{a+b}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{x+1-x+1}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-6=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a+b=\frac{-3}{2}\left(loai\right)\\a+b=2\left(nhan\right)\end{cases}}\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{5}{4}\) ( nhận ) 

\(ĐKXĐ:x\ge1\)

Nhân cả tử và mẫu của vế phải với liên hợp của nó được 

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^2-3=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}}{2}\)

Đặt : \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=a>0\)

\(\Rightarrow a^2-3=\frac{a}{2}\Rightarrow2a^2-a-6=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=-\frac{3}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}=2-x\) ( \(x\le2\) )

\(\Leftrightarrow x^2-1=x^2-4x+4\)

\(\Rightarrow x=\frac{5}{4}\)

\(x^2y^2+1\ge2xy;y^2z^2+1\ge2yz;z^2x^2+1\ge2zx\)

\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge2\left(xy+yz+zx\right)-3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)-3\le6\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\le6\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2+2xy=4+x\\xy+y^2=1+y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+2y^2+2xy-x-4=0\left(1\right)\\2y^2+2xy-2y-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2-\left(x+2y\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+2\right)\left(x+2y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2y-2\\x=3-2y\end{cases}}\)

lam not

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4xy}{2xy}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)

"=" xảy ra <=> x = y.

\(\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}=2x+2\) +2 

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+2}+x+2=2x+2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+2}=x\)(\(x\ge0\))

bình phương 2 vế 

x+2=\(x^2\)

giải phương trình 

\(\orbr{\begin{cases}2\left(tm\right)\\-1\left(loại\right)\end{cases}}\)

bước giải phương trình bạn tự làm nha . hok tốt

dấu tương đương số 1 vế phải là 2x+2 thôi nha