mị mới lớp 5 ahihi

ĐK: \(12\le x\le14\)

Sau khi nhân liên hợp chúng ta có được:

\(PT\Leftrightarrow\left(x-13\right)^2\left[1+\frac{\frac{2}{1+\sqrt{\left(x-12\right)\left(14-x\right)}}}{2+\sqrt{x-12}+\sqrt{14-x}}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x=13\)

Khủng khiếp tí nhưng chắc không sao:v

thay x=1 y=3 vào hàm số y=(a-1)x+a

\(\Rightarrow3=a-1+a\)

\(\Leftrightarrow2a=4\)

\(\Leftrightarrow a=2\)

vậy a=2

thay x=1 ; y=3

=) 3=(a-1)1+a

(=)3=a-1+a

(=)2a=4

(=)a=2

Vậy a=2

Cho y ở đề bài làm gì trong khi biểu thức ở vế trái bên dưới ko có y?

à là \(\frac{8x}{y}\)đó

\(f\left(x\right)=2x^2+x-6\)

Xét \(f\left(x\right)\) trên \(\left[0;\sqrt{3}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{4}\notin\left[0;\sqrt{3}\right]\)

\(f\left(0\right)=-6;f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(0\right)=-6\)

\(f\left(x\right)_{max}=f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}\)

Bài này đăng nhiều trên OLM rồi, lời giải vắn tắt:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{1+b^2}=\Sigma_{cyc}\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{ab^2}{1+b^2}\)

\(\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{ab}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)(bđt cô - si)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng từng vế của các bđt trên:

\(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Dễ c/m:  \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow3^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)

\(BĐT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

hay \(\frac{a}{1+b^2}\)\(+\frac{b}{1+c^2}\)\(+\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\frac{3}{2}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))

Trước tiên ta cần chứng minh :

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Trong 3 số : \(\hept{\begin{cases}a-1\\b-1\\c-1\end{cases}}\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu 

Giả sử hai số đó là : \(a-1,b-1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)

Giờ ta cần chứng minh : \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( đúng )

\(\Rightarrow\) ta có đpcm 

Quay lại bài toán ban đầu ta có :

\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\frac{18}{ab+bc+ac}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\frac{18}{ab+bc+ca}\)

\(\ge2.2.3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có BĐT quen thuộc sau: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có: \(VT-VP=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)+\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2\ge0\)(vì \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)) 

Từ đó \(P\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\frac{18}{ab+bc+ca}-1\)

\(\ge2\sqrt{2\left(ab+bc+ca\right).\frac{18}{ab+bc+ca}}-1=11\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =  1

gọi cạnh huyền là a và 2 cạnh góc vuông là b,c (cạnh thứ 3 là c\(;\)\(b,c>0,a>50\)) \(\Rightarrow\) a,b có độ dài là 2 số nguyên tố 

\(\Rightarrow\)\(a,b\ne2\) (do có hiệu là 50)

ta có : \(a=b+50\)

\(\Rightarrow\)\(c^2=a^2-b^2=100b+2500\)

để c nhỏ nhất thì c^2 nhỏ nhất \(\Rightarrow\) b là số nguyên tố nhỏ nhất khác 2 thoả mãn \(100b+2500\) là số chính phương nhỏ nhất

thử chút ta thấy \(b=11\) là giá trị b cần tìm \(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=11+50=61\\c=\sqrt{61^2-11^2}=60\end{cases}}\) (nhận)

Chỉ cần chú ý:

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)

Từ đó thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự rồi cộng theo vế thu được đpcm.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :

\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\left(abc+abc+abc\right)\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3abc}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy 

\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\\a^2b^2+c^2a^2\ge2a^2bc\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3\left(a+b+c\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!

Đặt \(\left(\frac{a}{b^2},\frac{b}{c^2},\frac{c}{a^2}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(\Rightarrow xyz=\frac{abc}{a^2b^2c^2}=\frac{1}{abc}=1\)

Theo bài ra ta có : \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-x-y+1\right)-1+z\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-x-y+1\right)+z\left(x+y-1-xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)-z\left(x-1\right)\left(y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(1-z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b^2}{b^2}.\frac{b-c^2}{c^2}.\frac{a^2-c}{a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b^2\right)\left(b-c^2\right)\left(c-a^2\right)=0\)

Ta có đpcm

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{12}\\\frac{y+z}{yz}=\frac{5}{18}\\\frac{z+x}{zx}=\frac{13}{36}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{5}{12}\left(1\right)\\\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}\left(2\right)\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{13}{36}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng vế với vế,ta được: \(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{19}{18}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{19}{36}\)(4)

Từ (1) và (4) suy ra : \(\frac{1}{z}=\frac{1}{9}\Rightarrow z=9\)

từ (2) và (4) suy ra : \(\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=4\)

từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\Rightarrow y=6\)