b) A = 2010 . 2012

        = ( 2011 - 1 )( 2011 + 1 )

        = 2011² - 1² = 2011² - 1

2011² - 1 < 2011² => A < B 

Bài này cho thêm điều kiện a, b, c dương

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(E=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\)\(\frac{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}}{2}\ge\frac{3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{6}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng HĐT thôi bạn =)

a) ( a + b )² + ( a - b )² - 6a²b

= a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b² - 6a²b

= 2a² + 2b² - 6a²b

= 2( a² + b² - 3a²b ) 

b) ( a + 3 )³ - ( a - b )³ - 6a²b

=( a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ) - ( a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ) - 6a²b

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - a³ + 3a²b - 3ab² + b³ - 6a²b

= 2b³

bạn ghi nhầm rồi nha b chứ 3 đau

Ta có: \(\frac{\left(a+b\right)}{2}=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

<=> \(a+b\le1\)

\(P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)}{2}+2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}+2}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{22}{5}\)

Dấu = xảy ra <=> a = b = 1/2 

mình chưa hiểu tại sao a+b<=1

như này

bạn Phạm Thị Mai Anh ơi, như này là như nào bạn ?

Bài làm:

Ta có: \(\widehat{MAH}=\widehat{HCI}=90^0-\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Lại có: \(\widehat{MHA}=180^0-\widehat{MHD}=180^0-\left(90^0-\widehat{DHI}\right)=90^0+\widehat{DHI}=\widehat{HIC}\left(2\right)\)

Nên \(\Delta AHM~\Delta CIH\left(g.g\right)\)vì:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MAH}=\widehat{HCI}\left(theo\left(1\right)\right)\\\widehat{MHA}=\widehat{HIC}\left(theo\left(2\right)\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{MH}{HI}=\frac{AH}{IC}=\frac{AH}{IB}\left(3\right)\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\Delta BHI~\Delta ANH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HN}{HI}=\frac{AH}{IB}=\frac{AH}{IC}\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\)\(\Rightarrow\frac{MH}{HI}=\frac{HN}{HI}\Rightarrow MH=HN\)

Bài 2
Quy ước: tất cả đều viết véc tơ:
* Khai thác giả thiết:
+ IA =2IB <=> IA = 2( AB -AI) <=> IA = -2AB <=> AI = 2AB
+ 3JA + 2JC =0 <=> 3JA + 2(JA+ AC) =0 <=> JA = ( -2/5)AC <=> AJ = (2/5) AC
Chỉ ra được vị trí các điểm I, J:
+ I đối xứng với A qua B ( tức B là trung điểm AI)
+ J nằm trên đoạn AC sao cho AJ = 2/5 AC
* Ta có:
+ GI = GA + AI = GA + 2AB
+ GJ = GA + AJ = GA + (2/5) AC
Suy ra:
GI - 5 GJ = -4 GA + 2(AB - AC) = -4GA + 2CB = -4GA + 2(GB -GC)
= -2GA +4GB ( chỗ này có áp dụng tính chất trọng tâm: GA +GB + GC =0)
Do B là trung điểm của AI => 2GB = GA +GI
Suy ra:
GI - 5 GJ = -2GA + 2GA + 2 GI
=> GI = - 5 GJ
Đẳng thức này suy ra I, J, G thẳng hàng => IJ đi qua G (đpcm)

Bạn cho đề kĩ hơn được không :)

tính để ra kết quả 

Xét tam giác AEB ~ tam giác AFC nha ( có r nha)  ( g-g)

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}=>\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)mà góc EAF = góc BAC => tam giác AEF ~ tam giác ABC(c-g-c) => góc AEF= góc ABC 

CM tương tự ta đc tam giác CDE ~ tam giác ABC (c-g-c)

=> góc CED = góc AEF

mà góc AEF + góc FEB =90 độ = góc CED + góc DEB

=> góc FEB = góc DEB

=> EB là tia p/g của góc DEF

=> \(\frac{EK}{EF}=\frac{HK}{HF}\)(1)

lại có EC zuông góc zới EB , EB là tia p.g trong góc DEF

=> EC là tia phan giác ngoài góc DEF 

=> \(\frac{EK}{EF}=\frac{CK}{CF}\left(2\right)\)

từ 1 zà 2 tự suy nốt nha ( dpcm)

\(^{x^2-xy+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

<=> \(4x^2-4xy+4y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

<=> \(3x^2-6xy+3y^2\ge0\)

<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) bất đẳng thức đúng 

Vậy \(^{x^2-xy+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\) đúng